Annales gratuites Bac STI Génie Civil : Fonction exponentielle

L'objectif est de déterminer une fonction dont la représentation graphique est donnée sur la page annexe, puis d'étudier certaines propriétés de cette fonction.

Sur la page annexe, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm, la courbe C d'une fonction f définie sur .
La courbe C passe par les points de coordonnées A (0 ; 4) et B (-1,5 ; 1).

1. Donner les valeurs de f(0) et de f(-1,5).

2. On suppose que pour tout nombre réel x, f(x) s'écrit sous la forme suivante :
f(x) = (ax + b)e^-x + 1, où a et b sont 2 nombres réels.
Utiliser les résultats de la question 1. pour déterminer la valeur des nombres réels a et b.

Dans toute la suite du problème on étudie la fonction f définie sur par f(x) = (2x + 1)e^-x + 1.

1. Déterminer la limite de f en - ¥ .

2. a. Montrer que pour tout nombre réel x : .

b. Déterminer alors la limite de f en + ¥ .
En déduire que la courbe C a une asymptote (D) dont on donnera une équation.

c. Démontrer que cette asymptote (D) coupe la courbe C au point B.

d. Étudier, en le justifiant soigneusement, la position de la courbe C par rapport à la droite (D).

3. Prouver que la dérivée f' de la fonction f est définie pour tout nombre réel x par :
f'(x) = (-2x - 1) e^-x.

4. Etudier le signe de f'(x) sur, puis dresser le tableau de variation de la fonction f.

5. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe C au point A.

1. On a représenté la courbe C dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
Déterminer le coefficient directeur de la tangente D à la courbe C au point E d'abscisse (-0,5).

Tracer sur la feuille annexe la tangente D .
Compléter cette figure en représentant l'asymptote (D) et la tangente (T).
Hachurer la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation x = -1 et x = 0.

2. Montrer que la fonction F définie par F(x) = (-2x - 5)e^-x + x est une primitive de la fonction f sur.

3. Soit A l'aire en cm² de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de A, puis en donner une valeur arrondie au centième.
 

Etude d'une fonction exponentielle suivie d'un calcul d'aire.

1. Comme la courbe C passe par les points de coordonnées A (0 ; 4) et B (-1,5 ; 1) alors on en déduit :
f(0) = 4 et f(-1,5) = 1

2. f(x) = (ax+b) e^-x + 1
f(0) = 4 équivaut à b e⁰ + 1 = 4 soit b = 3
f(-1,5) = 1 équivaut à (-1,5a + 3) e^1,5 + 1 = 1
soit (-1,5a + 3) e^1,5 = 0
ce qui équivaut à -1,5a + 3 = 0
d'où a = 2
On a donc f(x) = (2x + 3) e^-x + 1

f(x) = (2x + 3) e^-x + 1

2.
a.
f(x) = (2x + 3) e^-x + 1
f(x) = 2x e^-x + 3 e^-x + 1
d'où

b.

On en déduit que la courbe C a une asymptote (D) d'équation y = 1 en + ¥ .

c. Cette asymptote (D) coupe la courbe C au point B, car l'ordonnée du point B est y = 1

d. La position de la courbe C par rapport à la droite (D) est donnée soit par le signe de f(x) - 1, soit par le signe de (2x + 3) e^-x. On a donc f(x) - 1 ³ 0 si et seulement si (2x + 3) e^-x ³ 0 ce qui équivaut à 2x + 3 ³ 0 car e^-x > 0 pour tout x.
On a donc
On en déduit que la courbe C est au dessous de (D) sur l'intervalle et la courbe C est au dessus de (D) sur l'intervalle .
La courbe C et la droite (D) se coupent au point B d'abscisse .

3. f(x) = (2x + 3) e^-x + 1
(2x + 3) e^-x est de la forme u v dont la dérivée est u' v + v' u .
On a donc car la dérivée de e^-x est - e^-x
Il vient f'(x) = (2 - (2x + 3)) e^-x
f'(x) = (2 - 2x - 3) e^-x
d'où f '(x) = (-2x -1) e^-x

4. f '(x) = (-2x -1) e^-x
Comme e^-x > 0 pour tout réel x on en déduit que f '(x) est du signe de -2x -1
On a donc f '(x )³ 0 équivaut à -2x -1 ³ 0
Ce qui équivaut à
Et par conséquent f '(x) £ 0 si et seulement si
Il en résulte le tableau de variation suivant :

5. L'équation de la droite (T) tangente à la courbe C au point A est :
y - f(0) = f '(0) x
y - 4 = -x
d'où y = -x + 4
[Ici, bientôt une représentation graphique]

1. Le coefficient directeur de la tangente D à la courbe C au point E d'abscisse (-0,5) est égal à f '(-0,5) soit 0.

2. F(x) = (-2x -5) e^-x + x
Pour montrer que F est une primitive de f il suffit de montrer que F' = f
ou :

On a bien F'(x) = f(x), donc la fonction F est bien une primitive de f.

3.

Il fallait connaître les propriétés de la fonction exponentielle, savoir déterminer l'équation d'une tangente et calculer une aire.