Annales gratuites Bac STI Génie Matériaux : Fonction exponentielle

(10 points)

Partie A - Exploitation d'un graphique

On considère la fonction g définie et dérivable sur R, dont la représentation graphique C_g est donnée sur la figure en annexe. On précise que la courbe C_g coupe l'axe des abscisses au seul point d'abscisse 0 et admet en ce point comme tangente la droite d tracée sur la figure en annexe.
Soit g ' la fonction dérivée de g sur R.

1. En prenant appui sur la représentation graphique donnée en annexe :
a) Indiquer à quel entier est égal g(0).
b) Expliquer pourquoi g '(0) = 2.
c) Préciser sur quel intervalle la fonction g semble être positive.

2. On admet maintenant que g(x) = ax + b + e^x où a et b sont des réels que l'on va déterminer.
a) Déterminer b en utilisant la question 1.a).
b) Calculer g '(x) en fonction de a puis déterminer a en utilisant la question 1.b).
c) En déduire que pour tout réel x, on a : g(x) = x - 1 + e^x.

Partie B - Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie et dérivable sur R d'expression : f(x) = x - 4 - xe^-x.
Soit C_f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal .
1. Vérifier que, pour tout réel x non nul, on a : f(x) = x . En déduire.

2. a) Calculer .

b) Démontrer que la droite ∆ d'équation y = x - 4 est une asymptote oblique à la courbe C_f.
c) Étudier la position relative de la courbe C_f par rapport à la droite ∆.

3. On note f ' la dérivée de la fonction f sur R.
a) Pour tout réel x, calculer f(x), puis vérifier que : f'(x) = g(x) e^-x où g est la fonction obtenue dans la partie A (question 2.c)).
b) En utilisant la question 1.c) de la partie A, déterminer le signe de f '(x)
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur R.

4. En prenant pour unité graphique 1 cm sur chaque axe, tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe C_f et l'asymptote ∆ dans le plan muni du repère .

Partie C - Calcul d'une aire

1. Soit H la fonction définie et dérivable sur R d'expression : h(x) = -xe^-x.
a) Soit H la fonction définie et dérivable sur R d'expression : H(x) = (x + 1) e^-x
Montrer que H est une primitive sur R de la fonction h.
b) En déduire une primitive sur R de la fonction f définie dans la partie B.

2. a) Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe C_f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 2.
b) Calculer l'aire A de la partie hachurée. Donner la valeur exacte de A en cm² puis sa valeur arrondie au centième.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Renseignements fournis par un graphique pour faciliter l'étude d'une fonction exponentielle qui est suivie d'un calcul d'aire.
C'est un problème assez long et complet. Le calcul des limites est assez difficile.
Il fallait remarquer la position de la courbe située au-dessous de l'axe des abscisses pour le calcul d'aire géométrique.
Ne pas oublier le (-) devant le signe intégral.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Equation de la tangente,
● calculs de dérivées,
● calculs de limites,
● asymptotes,
● étude d'une fonction exponentielle,
● calcul d'une primitive,
● calcul d'aire,
● utilisation des intégrales pour calculer l'aire géométrique délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux droites d'équation x = 0 et x = 2.

III - LES RESULTATS

Partie A - Exploitation d'un graphique

1. Résultats obtenus à partir de la représentation graphique :

a) g(0) = 0
b) g '(0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C_g en 0.
Or la droite d tangente à la courbe C_g en 0 a pour coefficient directeur 2 donc g '(0) = 2.
c) La fonction g est positive sur l'intervalle [ 0 ;+ [ car la courbe Cg est au-dessus de l'axe des abscisses sur cet intervalle.

2.
a) g(x) = ax + b + e^x
Comme g(0) = 0 alors a × 0 + b + e⁰ = 0 d'où b = -1
b) g(x) = ax — 1 + e^x
on a  g '(x) = a + e^x
g '(0) = 2 équivaut à a + e⁰ = 2 soit a + 1 = 2 d'où a = 1
c) Comme g(x) = ax + b + e^x et que b = -1 et a = 1, alors g(x) = x − 1 + e^x

Partie B - Etude d'une fonction

f(x) = x - 4 - xe^-x

1. Pour vérifier que f(x) =  pour tout réel x, il suffit de développer f(x).

On a donc

d'où f(x) = x − 4 − xe^-x
f(x) est bien le résultat attendu.
Comme  et  alors

On en déduit

2.
a) Comme  et  alors

On en déduit :

b) Pour montrer que la droite ∆ d'équation y = x —4 est une asymptote à la courbe C_f en + il suffit de montrer que

On a f(x) — (x—4) = -xe^-x
Posons X = -x
Lorsque x tend vers + X tend vers -. On a donc

En effet comme

alors la droite ∆ d'équation y = x — 4 est bien asymptote à la courbe C_f en +.
c) La position relative de la courbe C_f par rapport à la droite ∆ est donnée par le signe de f(x) — (x —4), soit par le signe -xe^-x.
Comme e^-x > 0 pour tout réel x alors -xe^-x ≥ 0 <=> -x ≥ 0 <=> x ≤ 0 et -xe^-x ≤ 0 <=> x ≥ 0
On en conclut que :
C_f est au-dessus de ∆ sur l'intervalle ] -;0].

C_f est au-dessous de ∆ sur l'intervalle [0 ;+[.

3.
a) f(x) = x — 4 — xe^-x
Dérivons xe^-x
On a u(x) = x et v(x) = e^-x.
u '(x) = 1 et v '(x) = -e^-x.
On a donc (xe^-x) ' = 1 × e^-x — xe^-x = (1 — x) e^-x.
On en déduit f '(x) = 1 — (1 — x) e^-x soit f '(x) = 1 + (x — 1) e^-x.
g(x) e^-x = (x — 1 + e^x) e^-x
g(x) e^-x = (x — 1) e^-x + e⁰
g(x) e^-x = (x — 1) e^-x + 1
On a bien f '(x) = g(x) e^-x
b) Comme e^-x >0 pour tour réel x alors f '(x) est du signe de g(x).
D'après la question 1.c de la partie A, on en déduit que
f '(x) ≥0 si et seulement si x ≥ 0 et f '(x) ≤ 0 si et seulement si x ≤ 0.
c) Il en résulte le tableau de variation de f sur .

4. Tableau de valeur :

Partie C - Calcul d'une aire

h(x) = -xe^-x

1.
a) H(x) = (x + 1) e^-x
Pour montrer que H est une primitive de h sur R, il suffit de montrer que H '(x) = h(x).
H est de la forme uv avec H ' = u ' v + v ' u.
Posons u(x) = x +1 et v (x) = e^-x
u '(x) = 1 et v '(x) = -e^-x
On a donc H '(x) = e^-x — (x + 1) e^-x
H '(x) = (1 — (x + 1)) e^-x
H '(x) = (1 — x — 1) e^-x
H '(x) = -xe^-x
d'où H '(x) = h(x)

Donc H est bien une primitive de h sur .
b) f(x) = x — 4 — xe^-x
On a déduit une primitive F de f sur .

2.
a) Voir graphique
b)

A = F(0) — F(2) cm²

A = 1 + 6 — 3e^-2 cm²
A = 7 — 3e^-2 cm²
A = 6,59 cm² au centième près