Annales gratuites Bac STI Génie Civil : Fonction exponentielle

0n considère la fonction f, définie sur l'ensemble  des nombres réels par .
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal  (unités : 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée). (10 points)

Partie A : Limites aux bornes de l'ensemble de définition

1. Montrer que la droite D d'équation y = 4 est asymptote à C en .
2. a) Montrer que, pour tout nombre réel x, .
b) En déduire la limite de f en .

Partie B : Intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses

En utilisant la forme factorisée de f(x) donnée dans la partie A 2. a), déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.

Partie C : Etude des variations de la fonction f

1. a) Déterminer la dérivée f' de la fonction f
b) Etudier le signe de f'(x) suivant les valeurs du nombre réel x.
2. Montrer en détaillant vos calculs, que .

3. Déduire des questions précédentes le tableau de variations complet de la fonction f.
4. A l'aide du tableau de variations et du résultat acquis à la partie B, donner le tableau de signes de la fonction f sur .
5. Tracer la droite D puis la courbe C, pour x appartenant à l'intervalle [−4 ; 2], dans le repère défini en début de problème.

Partie D : Calcul d'une aire

1. Déterminer une primitive F de f sur .
2. a) Déterminer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = ln4.
b) Donner une valeur approchée au mm² près de cette aire.

I - l'analyse et les difficultés du sujet

Etude d'une fonction exponentielle suivie d'un calcul d'aire.
Un sujet classique sans difficulté apparente. Une connaissance du cours est néanmoins indispensable.
Une petite difficulté en fin d'exercice pour le calcul d'aire. Il fallait remarquer la position de la courbe sur l'intervalle [0;ln4] par rapport à l'axe des abscisses pour le calcul d'une aire géométrique. Il fallait penser à mettre le signe (—) devant.

II - Les notions du programme : savoirS et savoir faire

● Calcul de dérivées
● Calcul de limites
● Asymptote
● Etude d'une fonction exponentielle
● Propriétés de la fonction logarithme népérien
● Recherche d'une primitive
● Calcul d'aire
● Savoir utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire géométrique délimitée par une courbe, des droites et l'axe des abscisses

III - Les résultats commentés et détaillés

f(x) = e^2x − 5e^x + 4.

Partie A

1. f(x) = e^2x − 5e^x + 4

On a donc f(x) − 4 = e^2x − 5e^x
Pour montrer que la droite D d'équation y = 4 est asymptote à la courbe C en — il suffit de montrer que

Comme  et

Alors

En effet

Donc la droite D d'équation y = 4 est asymptote en C en —.

2. a) f(x) = (e^x − 1)(e^x − 4)

Développons f(x)

On obtient f(x) = e^2x − 4e^x − e^x + 4

soit f(x) = e^2x − 5e^x + 4

Donc pour tout nombre réel x,

f(x) = (e^x − 1)(e^x − 4)

b)

On en déduit que

D'où

Partie B

Pour déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe (C) avec l'axe des abscisses, il suffit de déterminer les solutions de l'équation f(x) = 0.
On a donc
f(x) = 0 équivaut à (e^x − 1)(e^x − 4) = 0
f(x) = 0 équivaut à e^x − 1=0 ou e^x − 4 = 0
f(x) = 0 équivaut à e^x = 1 ou e^x = 4
f(x) = 0 équivaut à x=ln1 ou x=ln 4
f(x) = 0 équivaut à x=0 ou x=ln 4

Donc O et ln 4 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.

Partie C

1.
a) f(x)=e^2x—5e^x+4
La dérivée d'une somme de fonction est égale à la somme des dérivées.
La dérivée de e^2x est 2e^2x, car de la forme e^u avec (e^u)'=u'e^u
On a donc
f'(x)= 2e^2x—5e^x
f'(x)= e^x(2e^x—5)

b) f'(x) est du signe de 2e^x − 5, car pour tout réel x e^x>0.
On a donc f '(x)≥0 <=> 2e^x − 5≥0
<=> 2e^x ≥ 5
<=> 

<=>  car la fonction ln est strictement croissante.
On en déduit que

2.

Car e^lnx = x.
On a donc

Ou bien

3. On en déduit le tableau de variation de la fonction f.

4. A partir du tableau de variations complet on en déduit le tableau de signes de la fonction f sur.

5. Tableau de valeurs :

Partie D

1. f (x)=e^2x − 5e^x + 4
Une primitive de e^2x est .
On en déduit une primitive F de f sur  définie par

.

2.
a) Sur l'intervalle [0 ; ln 4],  f (x) ≤ 0.
Donc l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = ln 4 est :

 unités d'aire

 unités d'aire

A = F(0) − F(ln4) unités d'aire.
A = [e⁰−5e⁰]−[e^2ln4−5e^ln4+4ln 4] unités d'aire
A = [−5]−[e^ln4²−5x4+4ln4] unités d'aire

 unités d'aire

 unités d'aire

 unités d'aire

 unités d'aire

 unités d'aire

Soit

b) D'où A=3,91 cm² au mm² près.