Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Fonction exponentielle

(10 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormal .
On s'intéresse dans ce problème à une fonction f définie sur l'ensemble des réels . On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère .

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur par g(x) = 2e^x + 2x + 3.

1. Étudier le sens de variation de la fonction g sur .
    Les limites ne sont pas demandées.

2. a. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans
        l'intervalle [—2 ; —1].
    b. Donner l'arrondi au dixième de .
    c. En déduire, selon les valeurs du nombre réel x, le signe de g(x).

Partie B : Etude de la fonction f

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 2e^x + x² + 3x.

1. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers .

2. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers .

3. Soit P la parabole d'équation y = x² + 3x.
    a. Déterminer la limite de f(x) — (x² + 3x) quand x tend vers .
    b. Que peut-on en déduire graphiquement ?
    c. Etudier la position relative de la courbe C et de la parabole P.

4. On note f ' la fonction dérivée de la fonction f.
    a. Calculer f '(x) pour tout nombre réel x.
    b. En utilisant la question 2. c. de la partie A, dresser le tableau de variations de la     fonction f.
    c. Donner une valeur approchée de à 10^—1 près.

5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.

6. Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la parabole P
   dans le repère , en prenant comme unité graphique 2 cm.
   Tracer sur la feuille annexe la tangente T et la courbe C.

Partie C : Calcul d'aire

1. Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation

2. a. Calculer la mesure exacte, en unités d'aire, de l'aire A de la partie du plan hachurée     précédemment.
    b. En déduire, en cm², la mesure arrondie au centième de l'aire A.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Étude de fonction avec exponentielle, tracé de courbes, calcul d'aires.
Difficultés : problème classique et complet ; tout savoir sur les études de fonctions, le calcul intégral.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Fonctions exponentielle et polynômes
● Dérivation, limites
● Courbes asymptotes
● Calcul d'aire, calcul intégral
● Tracé de courbes

III - LES RESULTATS

PARTIE A

1. g'(x) = 2e^x + 2
    g' > 0 sur .
    g est strictement croissante sur .

2.a. g(x) = 0 admet une solution unique dans [—2 ; —1]
   b.
   c.

PARTIE B

1.

2.

3.a.

   b. C est asymptote à P en

   c. C est au-dessus de P sur .

4.a. f '(x) = g(x)

   b.

   c.

5. T : y = 4x + 2

PARTIE C

1. Hachures

2.a.

   b. 1 u.a. = 4 cm²

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

PARTIE A

g(x) = 2e^x + 2x + 3, sur .

1. g est dérivable sur et :

g'(x) = 2e^x + 2

   Signe de g ' : Pour tout réel x : e^x > 0
   donc : 2e^x > 0 et 2e^x + 2 > 2 > 0
   donc :

   Sens de variation : g est donc strictement croissante sur R.

2.a. g est continue (car dérivable) sur [—2 ; —1], et strictement croissante sur cet intervalle.
      De plus : g(—2) = 2e^—2 — 1  —0,7
      et : g(—1) = 2e^—1 + 1  1,3
      donc : g(—2) < 0 < g(—1).
      On en déduit, d'après le théorème de bijection, que :
      l'équation g(x) = 0 admet une solution unique dans [—2 ; —1]

b. D'après la calculatrice :
   

c. D'après l'étude de g, son signe est donné par le tableau :

PARTIE B

f(x) = 2e^x + x² + 3x, sur .

1.

2.

   (car (x  x² + 3x) est une fonction polynôme)

3.a.

b. On déduit du résultat de 3a. que .
c. f(x)—(x² + 3x) = 2e^x ; or pour tout réel x, e^x > 0, donc
   C est au-dessus de P sur .

4.a. f ' est définie sur et f '(x) = 2e^x + 2x +3 = g(x)
   b. D'après A.2.b. et A.2.c, le signe de f ' est celui de g et le tableau de variation de f est le suivant :

   c.

5. T : y = f '(0)x + f (0) ; or f (0) = 2 et f '(0) = g(0) = 4, donc
   T : y = 4x + 2

PARTIE C

1. Hachures

2.a.

   b. En cm² : 1 u.a. = 2×2 = 4 cm²

A  6,86 cm²