Annales gratuites Bac Général L spé Maths : Fonction logarithme

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie A

La courbe C ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; 10]. On note f ' la fonction dérivée de f sur cette intervalle.

On précise que la droite T est tangente à la courbe C au point A de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle passe par le point de coordonnées (0 ; 1).

1. Répondre aux deux questions suivantes par la lecture graphique :
a. Donner f(1) et f '(1) en justifiant la valeur de f '(1).
b. Lire les solutions de l'équation f(x) = 0 sur l'intervalle ]0 ; 10].
2. On sait que f(x) est de la forme , où a et b désignent deux nombres réels.
a. Calculer f '(x).
b. En utilisant les valeurs trouvées pour f(1) et f '(1) à la question 1., calculer a et b.
c. En déduire l'expression de f(x).

Partie B
On sait désormais que la fonction f est définie sur l'intervalle ]0 ; 10] par .

1.a. Vérifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; 10]

Etudier le signe de f '(x).
b. On admet que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est +
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
En déduire le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur l'intervalle ]0 ; 10]

2. Le nombre 5 est-il vraiment une solution de l'équation f(x) = 0 ?

I - L'ANALYSE DU SUJET

Une première partie consiste à prendre des informations sur une courbe donnée et à interpréter ses caractéristiques graphiques en terme de dérivée.
La deuxième partie étudie plus complètement la fonction trouvée dans la première partie.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Lecture et interprétation graphique.
● Fonction logarithme.
● Nombre dérivé.
● Résolution graphique et algébrique d'équation du type f(x) = 0.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Le sujet est un peu déstabilisant puisque la deuxième partie vient invalider un résultat que l'on a pu donner en pensant qu'il était exact lors de la première partie.
Mais c'était oublier que "l'oeil" n'est pas un instrument suffisamment précis pour le mathématicien.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Le nombre dérivé et son interprétation graphique.
● La fonction logarithme.
● Résolution d'équation du type f(x) = 0.

V - LES RESULTATS

Partie A

1.
a. f(1) = 0

f '(1) = —1

b. S = { 1, 5 }

2.
a.

b. a = 2

b = —2

c.

Partie B

1.
a.

f '(x) est positif si et seulement si x ≥ 2

f '(x) est strictement négatif si et seulement si x < 2

b.

Sur l'intervalle ]0 ; 10] l'équation f(x) = 0 admet 2 solutions.

2.
5 n'est pas une solution de l'équation f(x) = 0, seulement une solution approchée.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A

1.
a. Par lecture graphique on a :
f(1) = 0

f '(1) = —1
f '(1) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 1.

b. Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C et de l'axe des abscisses.

On peut donc dire x = 1 ou x = 5.
D'où S = { 1, 5 } Ne pas oublier qu'une lecture graphique est toujours approximative.

2.

a.  car  et

après réduction au même dénominateur on obtient :

b. Comme f(1) = 0 alors
Soit a + b = 0 ou a = —b.
Comme f '(1) = —1 alors
Soit 1 — a = —1.
On en déduit a = 2 et b = —2

c. On en déduit l'expression de f(x) :

Partie B

 définie sur ]0 ; 10].

1.
a.
Soit

f '(x) est du signe de x — 2, car sur l'intervalle ]0 ; 10] x² > 0
On a donc

f '(x) ≥ 0 si et seulement si x-2 ≥ 0

f '(x) < 0 si et seulement si x-2 < 0

On en déduit que f '(x) < 0 si et seulement si x < 2.

b. On admet que

Il résulte du 1.a. le tableau de variation vu précédemment

Comme f est strictement décroissante sur l'intervalle ]0 ; 2] et que 0 appartient à l'intervalle [ln 2 — 1 ; +∞[
alors l'équation f(x) = 0 admet une solution appartenant à l'intervalle ]0 ; 2].

De même comme f est strictement croissante sur l'intervalle [2 ; 10] et que f(2) et f(10) sont des signes contraires
alors l'équation f(x) = 0 admet une solution appartenant à l'intervalle [2 ; 10].

2.
Si

alors

ce qui n'est pas égal à zéro.

Donc 5 n'est pas une solution de l'équation f(x) = 0, seulement une solution approchée.