Annales gratuites Bac Général L spé Maths : Fonction polynome

1. Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle I et montrer qu'elle admet un minimum que l'on précisera.
2. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal avec pour unités un centimètre sur l'axe des abscisses et deux millimètres sur l'axe des ordonnées.
3. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 81.

On considère un triangle équilatéral ABC dont les côtés ont pour longueur 10 centimètres et un point M du segment [AB].
Le point N est le point du segment [AC] tel que AN = AM.
Le point H est le pied de la hauteur issue de N dans le triangle ANB.

1. Faire une figure.
2. L'objectif de cette question est de déterminer par le calcul le point M du segment [AB] pour lequel la distance BN est minimale. Les distances sont exprimées en centimètres.
On pose AM = x.

a) Déterminer l'intervalle des valeurs possibles pour x.
b) Déterminer en fonction de x la distance HB.
c) Montrer que .
d) Déterminer en fonction de x la valeur de BN².
e) En utilisant les résultats précédents, déterminer le point M du segment [AB] pour lequel BN² est minimal.

3. L'objectif de cette question est de retrouver géométriquement le résultat de la question précédente.

a) Montrer que la distance BN est minimale lorsque l'angle est droit.
b) Vérifier que l'on retrouve bien la réponse à la question 2.

Etude d'une fonction pour déterminer une distance minimale.

f est définie sur l'intervalle I = [0 ; 10] par f (x) = x² - 10x + 100

1) f'(x) = 2x - 10
f'(x) ≥ 0 équivaut à 2x - 10≥ 0
f'(x) ≥ 0 si et seulement si x ≥ 5
f'(x) ≤ 0 ssi x ≤ 5

Il en résulte que la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 5] et strictement croissante sur l'intervalle [5 ; 10].
Comme f est strictement décroissante sur [0 ; 5] puis strictement croissante sur [5 ; 10] et que f'(5) = 0 alors elle admet un minimum en 5.
Ce minimum est f(5) = 75.

2) Tableau des valeurs.

voir courbe ci dessous.

Par lecture graphique la solution de l'équation f(x) = 81 est approximativement 2,5.

ABC est un triangle équilatéral. Les côtés ont pour longueur 10 cm.
AN = AM.

1) voir graphe ci dessous.

2) AM = x

a) Comme M est un point du segment [AB] et que AB = 10 alors l'intervalle des valeurs possibles pour x est [0 ; 10]

b) Le triangle AMN est isocèle de sommet A car AM = AN.
De plus comme l'angle au sommet  = 60° alors le triangle AMN est équilatéral. Donc (NH) qui est la hauteur relative au côté [AM] est aussi médiatrice de [AM].

On a donc soit .
Comme HB = AB - AH on en déduit que soit .

c) Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle AHM.

On a : AN² = AH² + HN²
d'où HN² = AN² - AH²


soit .

d) Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle BHN.

BN² = HB² + HN²



BN² = x² - 10x + 100

e) Comme BN² = f(x) et que f(x) admet un minimum en 5 alors BN² est minimal pour le point M du segment [AB] tel que AM = 5.

3) a) N étant un point de [AC], la distance BN est minimale si (BN) est perpendiculaire à (AC) donc lorsque l'angle est droit.

b) Comme le triangle ABC est équilatéral alors la hauteur (BN) relative au côté [AC] est aussi la médiatrice de [AC].
Donc N est le milieu de [AC].
De plus comme AN = AM alors M est aussi le milieu de [AB]. Soit AM = 5.

Une première partie sans aucune difficulté.
Une deuxième partie très axée sur la géométrie.