Annales gratuites Bac Général S spé Maths : Gauss et Bézout

(5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours

1. Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B
II s'agit de résoudre dans le système (S)

1. Démontrer qu'il existe un couple (u, v) d'entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13 × 12v + 6 × 19u est une solution de (S).

2.
a. Soit  une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à

b. Démontrer que le système équivaut à (12 x 19).

3.
a. Trouver un couple (u, v) solution de l'équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.
b. Déterminer l'ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13.

On divise n par 228 = 12 × 19. Quel est le reste r de cette division ?

I - L'ANALYSE DU SUJET

Résolution d'un système de deux congruences.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Théorème de Gauss
● Identité de Bézout
● Congruence
● Division euclidienne

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

● La démonstration des équivalences est assez difficile à mettre en oeuvre de façon rigoureuse.
● Il ne fallait pas chercher à résoudre l'équation diophantienne donnée qui n'intervenait que comme intermédiaire nécessaire à la résolution du système.
● Bien comprendre le sens général du sujet afin de bien lier les questions et leurs dépendances réciproques.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Utiliser les théorèmes de Gauss et Bézout.
● Revenir à la définition de la congruence.
● Démontrer une équivalence revient à démontrer une double implication.

V - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A : question de cours

1.
Théorème de Bézout :
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1

Théorème de Gauss :
Soit a,b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise bc et a est premier avec b alors a divise c.

2. Démonstration
Soit a,b et c trois entiers non nuls vérifiant que a divise bc et a est premier avec b.
D'après le théorème de Bézout comme a et b sont premiers entre eux alors il existe u et v relatifs tel que :
au + bv = 1
en multipliant par c on a :
acu + bcv = c
or a divise bc donc a divise bcv
et a divise acu
par conséquent a divise acu+bcv donc a divise c.

Partie B

1. 19 et 12 sont premiers entre eux. Donc d'après le Théorème de Bezout
Il existe u et v tel que 19u + 12v = 1.

On a donc 12v = 1 — 19u c'est à dire

De même 19u = 1 — 12v c'est à dire

N = 13 × 12v + 6 × 19u
Or donc
 
Par somme
De même donc

Par somme Par conséquent N vérifie bien le système (S).

2.
a. n_o solution de (S) donc  où k et k' sont des entiers.

n solution de (S) équivaut à  où m et m' sont des entiers.

n solution de (S) équivaut à

n solution de (S) équivaut à n- no est multiple de 19 et de 12.
n solution de (S) équivaut à  et .

b. Montrons par double implication que équivaut à

Supposons que
On a n = n_o + 12 × 19k avec .

Donc
n = n_o + 12 × (19k) donc

n = n_o + 19 × (12k) donc

Réciproquement supposons on a  avec k et k' entiers.

On a 19k = 12 k'

Or 19 et 12 premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss 19 divise k' donc
k' = 19 k'' avec .
On obtient n —n_o = 12k' = 12 × 19k'' donc n — n_o multiple de 12 × 19 donc .

3.
a. En utilisant l'algorithme d'Euclide
19 = 12 × 1 + 7
12 = 7 × 1 + 5
7 = 5 × 1 +2
5 = 2 × 2 + 1

On a
1 = 5 — 2 × 2
1 = 5 — 2(7 — 5)
1 = 5 × 3 — 2 × 7
1 = (12—7) × 3 —2 ×7
1 = 12 × 3 — 5 × 7
1 = 12 × 3 — (19—12) × 5
1 = 12 × 8 — 19 × 5
1 = 19 × (-5) + 12 × 8

Le couple (-5, 8) est solution de l'équation.
N = 13 × 12 × 8 + 6 × 19 × (-5) = 678.

b. 678 est solution particulière de (S).
D'après le 2.b., (S) équivaut à
Toutes les solutions de (S) sont les entiers s'écrivant n = 678 + 228k avec .

4. n est solution de (S) donc n = 678 + 228k
Or 678 = 228 × 2 + 222
On a donc r = 222 car 0 ≤222 <228.