Suivez-nous
 >   >   >   > Gauss et Bézout

Annales gratuites Bac Général S spé Maths : Gauss et Bézout

Le sujet  2006 - Bac Général S spé Maths - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet comporte une ROC sur les théorèmes de Gauss et Bezout pour les utiliser ensuite pour résoudre un système en arithmétique.
Le sujet est assez original et, de ce fait, un peu délicat à traiter, notamment en ce qui concerne les équivalences à démontrer.

LE SUJET


(5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours

1. Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B
II s'agit de résoudre dans le système (S)

1. Démontrer qu'il existe un couple (u, v) d'entiers relatifs tel que : 19u + 12= 1.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13 × 12v + 6 × 19u est une solution de (S).

2.
a.
Soit  une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à

b. Démontrer que le système équivaut à (12 x 19).

 

3.
a. Trouver un couple (u, v) solution de l'équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.
b. Déterminer l'ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13.

On divise n par 228 = 12 × 19. Quel est le reste r de cette division ?

LE CORRIGÉ


I - L'ANALYSE DU SUJET

Résolution d'un système de deux congruences.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Théorème de Gauss
● Identité de Bézout
● Congruence
● Division euclidienne

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

● La démonstration des équivalences est assez difficile à mettre en oeuvre de façon rigoureuse.
● Il ne fallait pas chercher à résoudre l'équation diophantienne donnée qui n'intervenait que comme intermédiaire nécessaire à la résolution du système.
● Bien comprendre le sens général du sujet afin de bien lier les questions et leurs dépendances réciproques.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Utiliser les théorèmes de Gauss et Bézout.
● Revenir à la définition de la congruence.
● Démontrer une équivalence revient à démontrer une double implication.

V - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A : question de cours

1.
Théorème de Bézout :
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1

Théorème de Gauss :
Soit a,b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise bc et a est premier avec b alors a divise c.

2. Démonstration
Soit a,b et c trois entiers non nuls vérifiant que a divise bc et a est premier avec b.
D'après le théorème de Bézout comme a et b sont premiers entre eux alors il existe u et v relatifs tel que :
au + bv = 1
en multipliant par c on a :
acu + bcv = c
or a divise bc donc a divise bcv
et a divise acu
par conséquent a divise acu+bcv donc a divise c.

Partie B

1. 19 et 12 sont premiers entre eux. Donc d'après le Théorème de Bezout
Il existe u et v tel que 19u + 12v = 1.

On a donc 12v = 1 — 19u c'est à dire

De même 19u = 1 — 12v c'est à dire

N = 13 × 12v + 6 × 19u
Or donc
 
Par somme
De même donc

Par somme Par conséquent N vérifie bien le système (S).

2.
a.
no solution de (S) donc  où k et k' sont des entiers.

n solution de (S) équivaut à  où m et m' sont des entiers.

n solution de (S) équivaut à

n solution de (S) équivaut à n- no est multiple de 19 et de 12.
n solution de (S) équivaut à  et .

b. Montrons par double implication que équivaut à

Supposons que
On a n = no + 12 × 19k avec .

Donc
n = no + 12 × (19k) donc

n = no + 19 × (12k) donc

Réciproquement supposons on a  avec k et k' entiers.

On a 19k = 12 k'

Or 19 et 12 premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss 19 divise k' donc
k' = 19 k'' avec .
On obtient nno = 12k' = 12 × 19k'' donc nno multiple de 12 × 19 donc .

3.
a.
En utilisant l'algorithme d'Euclide
19 = 12 × 1 + 7
12 = 7 × 1 + 5
7 = 5 × 1 +2
5 = 2 × 2 + 1

On a
1 = 5 — 2 × 2
1 = 5 — 2(7 — 5)
1 = 5 × 3 — 2 × 7
1 = (12—7) × 3 —2 ×7
1 = 12 × 3 — 5 × 7
1 = 12 × 3 — (19—12) × 5
1 = 12 × 8 — 19 × 5
1 = 19 × (-5) + 12 × 8

Le couple (-5, 8) est solution de l'équation.
N = 13 × 12 × 8 + 6 × 19 × (-5) = 678.

b. 678 est solution particulière de (S).
D'après le 2.b., (S) équivaut à
Toutes les solutions de (S) sont les entiers s'écrivant n = 678 + 228k avec .

4. n est solution de (S) donc n = 678 + 228k
Or 678 = 228 × 2 + 222
On a donc r = 222 car 0 ≤222 <228.

2019 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite