Annales gratuites Bac Général L spé Maths : Nombre d'or

Le segment [AB] a pour longueur l'unité.
1. Construire, à la règle et au compas:
   a) le milieu I du segment [AB],
   b) la perpendiculaire D à la droite (AB) passant par B.

2. a) Construire un point C de la droite D tel que BC = BI.
    b) Calculer AC.

3. a) Construire les points D et M suivants :
    - D est le point d'intersection du segment [AC] avec le cercle de centre C passant par B.
    - M est le point d'intersection du segment [AB] avec le cercle de centre A passant par D.
    b) Calculer AD et vérifier que AM² = AB x MB.
    c) Justifier que :  . Ce nombre est appelé nombre d'or et noté .

    d) Déduire des questions précédentes que , puis que .

4. On rappelle qu'un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport est égal à .
En utilisant les questions précédentes, construire, à la règle et au compas, des points E et F tels que ABEF soit un rectangle d'or. Expliquer votre démarche.

                        A                                           B

Construire un rectangle d'or.

1. Voir figure

2. a. Voir figure
b. AC est l'hypoténuse du triangle ABC rectangle en B avec AB = 1 et
donc d'après la propriété de Pythagore,
on a AC² = AB² + BC²

et donc .

3. a. Voir figure

b. AD = AC - DC car A, D et C sont alignés

AM = AD
donc
MB = AB - AM car A, B et M sont alignés


donc
et donc AM² = AB x MB

c.
est le nombre d'or.

d.

4. On a
On trace un rectangle de longueur AB et de largeur AM. Voir figure.

Une bonne maîtrise des constructions élémentaires et du calcul avec des racines carrées était indispensable.