Annales gratuites Bac STI Génie Civil : Plan complexe

Le plan est muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.

1.  Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation :

                     z² - 6z + 34 = 0

2.  Soient A, B et C les points d'affixes respectives z_A = 3 + 5i, z_B = 3 - 5i et z_C = 4i

   a.  Placer A, B et C dans le repère.

   b.  Calculer les modules des nombres complexes z_A - 3, z_B - 3 et z_C - 3. En déduire que les points A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

   c.  Quelle est la nature du triangle ABC ?

3.  Soit D le symétrique de A par rapport à C et E le symétrique de B par rapport à C. Placer les points D et E dans le repère. Montrer que ABDE est un losange.

Utilisation des complexes en géométrie.

1.

d'où
et donc les deux solutions de l'équation dans sont :
z₁ = 3 + 5i et z₂ = 3 - 5i

2.a.

b.

Soit I le point d'affixe z_I = 3
on a AI = BI = CI
donc les points A, B et C sont sur le cercle de centre I et de rayon r = 5.

c.

et donc

d'où ,

le triangle ABC est rectangle en C.

d. D est le symétrique de A par rapport à C donc D, A, C alignés et C milieu de [AD].
E est le symétrique de B par rapport à C donc B, C, E alignés et C milieu de [BE].
Donc le quadrilatère convexe (A B D E) est tel que ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Donc c'est un losange.

Bien connaître son cours permettait de trouver des solutions plus ou moins astucieuses et donc de gagner du temps.