Annales gratuites Bac STI Génie Civil : QCM complexes

Exercice 1 (5 points)

On considère les nombres complexes.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal.
Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I : Q.C.M.

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie.
On ne demande aucune justification.

Notation : chaque réponse juste rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point. Si le total des points est négatif, il est ramené à 0.

1. Le nombre complexe Z₁ = z_Az_B est :
Réponse A : un nombre réel positif
Réponse B : un nombre réel négatif
Réponse C : un nombre imaginaire pur
Réponse D : l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes

2. Le nombre complexe z₂ = z_A⁶ est :
Réponse A : un nombre réel positif
Réponse B : un nombre réel négatif
Réponse C : un nombre imaginaire pur
Réponse D : l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes

3. Le nombre complexe conjugué de z_A est :
Réponse A :

Réponse B :

Réponse C :

Réponse D :

4. Le nombre complexe z_C peut se mettre sous la forme :
Réponse A :

Réponse B :

Réponse C :

Réponse D :

Partie II

On considère les points A, B et C d'affixes respectives z_A, z_B et z_C.

1. Soit M un point du plan d'affixe z.
a) Interpréter géométriquement |z—z_A|.
b) Quel est l'ensemble D des points M du plan dont l'affixe z vérifie l'égalité : |z—z_A|=|z—z_B|.
c) Vérifier que le point C appartient à l'ensemble D.

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

3. Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC.

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Le sujet permet d'explorer nombre de connaissances sur les complexes et l'interprétation géométrique.
On est peu guidé dans les calculs, il faut choisir soi-même la méthode et la forme adéquate des nombres complexes pour mener les calculs.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Forme algébrique d'un complexe
● Forme trigonométrique
● Nombre conjugué
● Module et argument
● Médiatrice
● Triangles rectangle
● Reconnaître la manière de définir une médiatrice sous forme d'égalité dans les complexes
● Utiliser les calculs dans les complexes pour démontrer des propriétés géométriques.

III - LES RESULTATS

Partie 1 : Q.C.M.

1. Réponse C

2. Réponse B

3. Réponse C

4. Réponse A

Partie 2

1.
a)  est égal à la distance AM
b) D est la médiatrice du segment [AB]
c)

2. AB² = AC² + BC²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, (ABC) triangle rectangle en C.

3. Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie 1 : Q.C.M.

Z_A=4e  

1. Z₁ = Z_A Z_B

Z₁=

Z₁

Réponse C

2. Z₂  = Z_A⁶

Z₂ =

Z₂ = 4⁶ = -4⁶

Réponse B

3.

Réponse C

4. Z_c= —2 + 2i

D'où

Réponse A

Partie 2

1.

a)  est égal à la distance AM
b) Soit D l'ensemble des points M du plan tels que  soit tels que AM=BM.
Les points M de D sont tels que AM=BM donc D est la médiatrice du segment [AB].
c)

D'où

2.

or

et

On a donc  

Et donc AB² = AC² + BC²

D'après la réciproque du théorème de Pythagore on a : (ABC) triangle rectangle en C.
Et

Et.

On a donc bien  et donc C appartient à D.

3. On sait que AC=BC et que (ABC) est rectangle en C donc le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en C.