Annales gratuites Brevet Série Collège : Aire d'un triangle

Dans toute cette partie l'unité de longueur est le centimètre.

PARTIE A :

1) Tracer un cercle de centre O et de rayon 3.
    Tracer un diamètre [AB] et un rayon [OC] perpendiculaire au diamètre[AB].

2) Démontrer que le triangle ACB est un triangle rectangle et isocèle en C.

3) Calculer l'aire du triangle ACB.

PARTIE B :

On considère un point M sur le segment [OC] et on pose CM = x.

1) Quelle est la nature du triangle AMB ? On justifiera la réponse.

2) a) Recopier et compléter l'encadrement ;……

    b) Exprimer OM en fonction de x.

    c) On pose A(x) l'aire du triangle AMB; démontrer que :
        Démontrer que l'aire A(x)du triangle est fonction affine de x.

3) a) Pour quelle valeur de x , l'aire du triangle AMB est-elle égale à 3 cm² ?

    b) Démontrer que, pour la position du point M correspondant à cette valeur de x, les aires des triangles AMC, AMB et BMC sont égales.

PARTIE C :

1) Sur le quadrillage ci-dessous, réaliser en couleur une représentation graphique de la fonction affine qui à x fait correspondre 9-3x.

2) Résoudre l'inéquation 9 - 3x > 4,5.

3) Quelles sont les positions du point M sur le segment [OC] pour lesquelles l'aire du triangle AMB est supérieure ou égale à 4,5 cm² ?

PARTIE A :

1) Voir dessin

2) Le triangle ACB est inscrit dans un demi-cercle donc il est rectangle en C.
    Par ailleurs (OC) est la médiatrice de [AB] donc (ACB) est isocèle en C.

3)
                      

PARTIE B :

1) M est sur la médiatrice de [AB]

    donc ABC est un triangle isocèle en M.

2) a) 0 3

    b) OM = 3 - x

    c)

                          

                          

        A = 3(3 - x) = 9 - 3x

        A(x) = - 3x + 9
        C'est de la forme ax + b donc c'est une fonction affine.

3) a) - 3x + 9 = 3
              - 3x = - 6
                   x = 2
         Si x = 2 cm             Aire AMB = 3 cm²

     b) Si Aire AMB = 3 cm²
         alors Aire AMO = 1,5 cm²
         et Aire AMC = 3 cm² (car Aire AOC = 4,5 cm²)
         De même pour BMC
         donc Aire AMB = Aire AMC = Aire BMC

PARTIE C :

1) Voir graphique

2)

    

    

    

3) M est situé sur le segment [CI], I est le milieu de [OC].

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