Le sujet 1998 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
1 - Tracer le cercle C1 de diamètre [IJ] où IJ = 10
cm.
Justifier que l'aire A1 du disque de diamètre [IJ] est 25
cm2.
2 - Sur le cercle C1, placer le point K tel que IK = 6 cm.
a. Démontrer que IJK est un triangle rectangle.
b. Démontrer que JK = 8 cm.
c. Calculer l'aire B1 du triangle IJK.
3 - Sur la droite (KJ), placer le point E n'appartenant pas au segment [KJ] tel que JE = 4 cm.
Tracer la perpendiculaire à la droite (KJ) passant par E : elle coupe (IJ) en L.
a. Démontrer que les droites (EL) et (IK) sont parallèles.
b. Calculer JL.
4 - JLE est une réduction de IKJ. Quel est le coefficient de réduction ?
En déduire que l'aire B2 de JLE est 6 cm2.
5 - Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle JLE ?
Tracer ce cercle. On l'appelera C2.
Justifier que l'aire A2 du disque de diamètre [JL] est 6,25
cm2.
6 - Démontrer que
1°)
L'aire de ce disque est :
Ici R 1 = 5 cm.
Donc cm 2
2°) a) Le triangle IJK est rectangle car il est inscrit dans un demi-cercle
de diamètre [IJ].
b) On a, grâce à la propriété de Pythagore :
JK 2 = IJ 2 - IK 2 = 100 - 36 = 64
Donc JK = 8 cm.
c)
3°) a) (EL) et (IK) sont toutes deux perpendiculaires à (KE) : elles
sont donc parallèles entre elles.
b) D'après la propriété de Thalès :
Or JI = 10 cm ; JE = 4 cm ; JK = 8 cm
Donc
4°)
Le rapport de réduction est donc de .
On en déduit :
5°) Le point O est le milieu de JL.
C 2 se déduit de C 1 dans une réduction
de coefficient et donc :
6°) On a vu précédemment que :
Donc