Annales gratuites Brevet Série Collège : Aire et triangle

L'unité de longueur est le cm. L'unité d'aire est le cm².
Sur la figure de votre sujet (non représentée ici), AFET est un rectangle et ETC un triangle rectangle en T.
On donne les longueurs TC = 5 ET = 6 EF = 3 .
Le point M peut se déplacer sur le segment [TE], et la longueur TM est désignée par x.

A) Dans cette partie, on choisit x = 2

1) Calculer la valeur exacte de la longueur CM, puis sa valeur arrondie au dixième.

2) Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle

et en déduire la mesure de l'angle arrondie au degré.

3) Calculer l'aire A₁ du triangle TCM et l'aire A₂ du triangle MEF.

B) Dans cette partie, le point M peut se déplacer librement sur le segment [TE]

1) Quelles sont les valeurs possibles de x ?

2) Exprimer en fonction de x l'aire A₁ du triangle TCM.

3) a) Exprimer la longueur ME en fonction de x.

b) Exprimer en fonction de x l'aire de A₂ du triangle MEF et l'écrire sous la forme ax + b, a et b étant deux nombres que l'on déterminera.

4) Pour quelles valeurs de x l'aire A₂ est-elle strictement supérieure à l'aire A₁ ?

C) Les tracés demandés dans cette partie seront réalisés sur la feuille de papier millimétré jointe à votre sujet, qui devra être rendue avec la copie.

1) a) Tracer la droite D₁ d'équation

b) Tracer la droite D₂ d'équation

2) a) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection S des droites D₁ et D₂.

b) En déduire, sans nouveau calcul, pour quelle valeur de x les triangles TCM et MEF de la partie B) ont la même aire. Quelle est alors la valeur commune de cette aire ?

3) Utiliser le graphique pour déterminer avec la meilleure précision possible les valeurs de x pour lesquelles l'aire A₂ du triangle MEF est supérieure ou égale à 3 (faire apparaître les tracés ayant permis de répondre).

PARTIE A

1) La propriété de Pythagore, dans le triangle CTM permet d'écrire :
CM² = CT² + TM²= 25 + 4 = 29

2)

D'où (au degré près)

3)

ME = TE - TM = 6 - 2 = 4 cm

PARTIE B

1) x peut prendre toute valeur de l'intervalle [0 , 6].

2)

3) a) ME = 6 - x

b)

4) A₂ > A₁ si et seulement si :
c'est-à-dire 4x < 9 soit .


PARTIE C

1) a) et b) voir figure ci-dessous.

2) a) L'abscisse x de S vérifie :

soit

L'ordonnée y vaut
Donc

b) On a trouvé :
et

donc A₁ = A₂ pour

L'aire commune vaut alors cm².

3) Il faut tracer sur la figure la droite D d'équation y = 3.
On voit que D₂ est au-dessus de D₁ pour x < 4.
Donc A₂ > 3 si et seulement si x appartient à [0 , 4].

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