Annales gratuites Brevet Série Collège : Aire et triangle

QUESTIONS ENCHAINEES

La figure de votre sujet n'est pas en vraie grandeur.

On sait que : AB = 10.
H est le milieu de [AB].
SH = 3.
Les droites (AB) et (SH) sont perpendiculaires.

(Les mesures sont exprimées en cm).


PARTIE A

1) Faire la figure en vraie grandeur.

2) Montrer que le triangle SAB est isocèle en S.

3) a. Calculer la valeur exacte de SA.

b. En déduire la valeur exacte du périmètre du triangle SAB.

4) a. Donner la valeur exacte de

b. En déduire la mesure de puis celle de (arrondies au degré).


PARTIE B

Soit M un point du segment [SH], on pose MH = x.

1) Quelles sont les valeurs possibles de x ? (on pourra répondre sous forme d'un encadrement de x).

2) On note A₁ l'aire du triangle BMH et A₂ l'aire du triangle ASM.

a. Montrer que

b. Quelle est la hauteur issue de A du triangle ASM ?

c. Exprimer SM en fonction de x.

d. Montrer que

3) Pour quelle valeur de x a-t-on A₁ = 2 A₂ ?

PARTIE C

On note I le milieu du segment [SH] et E le symétrique de A par rapport à I.

1) Sur votre figure, placer les points I et E.

2) Quelle est la nature du quadrilatère ASEH ? Justifier.

3) En utilisant les points de la figure, citer deux vecteurs égaux à . Justifier les réponses.

4) Démontrer que SEBH est un rectangle.

TROISIEME PARTIE

PARTIE A


1) Voir figure ci-dessous.

2) Comme SH est perpendiculaire à [AB] en son milieu, c'est donc la médiatrice de [AB].
On a alors SA = SB.
Par conséquent le triangle SAB est isocèle en S.

3) a) D'après la propriété de Pythagore dans le triangle SHA :
SA ² = AH ² + SH ² = 5 ² + 3 ² = 25 + 9

b) Le périmètre de

4) a)

b)

Comme (SH) est la bissectrice de ASB
alors

PARTIE B

1) 0 < x < 3

2) a)
Soit

b) AH est la hauteur issue de A du triangle ASM.

c) SM = SH - MH = 3 - x

d)

Soit

3)A₁ = 2A₂ s'écrit aussi :

ou 5x = 10 (3 - x)

5x = 30 - 10x

15x = 30

x = 2

Donc A₁ = 2A₂ pour x = 2

PARTIE C

1) Voir figure.

2) I milieu de [SH], E symétrique de A par rapport à I donc I milieu de [EA]. Comme les diagonales [SH] et [AE] du quadrilatère ASEH ont même milieu, alors ASEH est un parallélogramme.


3)

4) Comme
alors SEBH est un parallélogramme.
De plus (SH) est perpendiculaire à (HB).

C'est donc un rectangle.

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