Annales gratuites Brevet Série Collège : Angles et cercles

PRELUDE

1 - D'après la figure ci-dessous:

Tracer ABCP en respectant les données suivantes : AB = 6 cm BC = 8 cm BM = 3 cm (CP) // (AB)

2 - Mesurer les angles et .
Pourquoi ces mesures ne permettent-elles pas d'affirmer que (AM) est la bissectrice de ?

I et II peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre .

I -

1) En considérant le triangle ABC :
a) Calculer AC.

b) Calculer et le plus précisément possible.
Expliquer pourquoi les valeurs obtenues ne permettent pas d'affirmer que (AM) est
la bissectrice de .

2) En considérant les triangles ABM et MCP, calculer CP.

3) Quelle est la nature de ACP ? Que peut-on en déduire pour et ?

4) Démontrer alors que = et donc que (AM) est bien la bissectrice de .

II -

1) (AM) est, d'après la partie I, la bissectrice de . Sur la figure tracée à la première question
du prélude :
- tracer la bissectrice, d, de .
- nommer O le point d'intersection de la droite d et de la droite (AM).
- tracer la hauteur issue de O du triangle AOB et la hauteur issue de O du triangle BOM.

Ces hauteurs sont des rayons du cercle inscrit dans le triangle BAC .
- tracer ce cercle.

2) a) Calculer l'aire du triangle ABM.

b) Exprimer l'aire du triangle AOB et l'aire du triangle BOM en fonction du rayon r du cercle
inscrit dans le triangle BAC.

c) Trouver une relation entre ces trois aires.
En déduire le rayon r.

PRELUDE

1 -

2 - environ
environ

Les mesures des angles étant très proches, il faudrait un instrument de mesure beaucoup plus précis que le rapporteur pour être sûr que les 2 angles sont égaux et encore...

PARTIE I

1 - a) (ABC) est un triangle rectangle en B.
D'après la propriété de Pythagore on a :
AC ² = AB ² + BC ² = 6 ² + 8 ² = 36 + 64 = 100
d'où AC = 10 cm

b)
(arrondi à 3 décimales)

(arrondi à 3 décimales)

Les instruments de calcul donnent des valeurs approchées et non des valeurs exactes.
Malgré le fait que soit très proche de,on ne peut pas encore conclure et
affirmer que (AM) serait la bissectrice de l'angle .

2 - (AB) // (CP) d'après la propriété de Thalès on a :

CP = 10 cm

3 - AC = 10 cm CP = 10 cm
AC = CP donc le triangle ACP est isocèle.
Donc

4 - Les droites (AB) et (CP) sont parallèles.
Donc les angles BAM et MPC sont alternes - internes ; ils sont donc égaux.
Donc

Donc (AM) est la bissectrice de .
Nous venons de démontrer ce que ni les instruments de mesure ni les instruments de calcul ne nous avaient permis d'affirmer.

PARTIE II

1) Voir figure de la question 2 -.

2) a) cm²

b) cm²
cm²

c) Aire (ABM) = Aire (AOB) + Aire (BOM)




r = 2

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