Annales gratuites Brevet Série Collège : Bateau à voile

Dans tout le texte, l'unité de longueur est le mètre. Pour la voilure de son bateau, un navigateur se voit proposer deux types de voile. Leur comparaison est l'objet du problème.

PARTIE 1

Premier type de voile :
La voile est composée d'un carré OILE et d'un triangle rectangle VOE rectangle en O tels que OI = 3.

a) Dans cette question, on choisit VI = 5.
Calculer l'aire de la voile.

b) Dans cette question, on pose VI = x, x étant un nombre tel que x 3.
Exprimer VO en fonction de x.
On désigne par A₁ l'aire de cette voile en fonction de x.
Montrer que A₁ = 1,5x + 4,5.


Deuxième type de voile:
La voile a la forme d'un triangle rectangle en A.

On a AU = 4
On pose SA = x

c) Exprimer l'aire A₂ de cette voile en fonction de x.

d) Déterminer x pour que l'aire de A₂ soit égale à 14 m².

PARTIE 2

Dans cette partie, le navigateur souhaite comparer les aires de deux voiles de types différents mais de même hauteur x. (c'est-à-dire telles que VI = SA = x).

a) Déterminer pour quelle valeur de x l'aire A₁ est égale à l'aire A₂.

b) Résoudre l'inéquation : 1,5x + 4,5 2x.
Expliquer la signification du résultat obtenu.

PARTIE 3

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O ; I ; J). Pour la représentation graphique on placera l'origine en bas et à gauche sur la feuille de papier millimétré.

On choisira 1,5 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.

1) a) Tracer la droite D₁ d'équation : y = 1,5x + 4,5

b) Calculer l'ordonnée du point B de D₁ ayant pour abscisse 5.

2) a) Tracer la droite d'équation : y = 2x.

b) Calculer l'abscisse du point C de D₂ ayant pour ordonnée 14.

3) Retrouver, par lecture sur le graphique, la réponse à la question a) de la partie 2.
Pour cela, on fera apparaître les tracés nécessaires en pointillés.

4) Pour des raisons techniques, la hauteur de voile ne peut dépasser 8 m. Le navigateur désirant avoir une voile d'aire la plus grande possible, utiliser le graphique pour déterminer quel type de voile il doit choisir.

PARTIE I

1er type de voile

a) Aire de la voile.
Aire du triangle VOE = = 3 m ².
Aire du carré OILE = 3 ´ 3 = 9 m ².

D'où l'aire de la voile est 9 + 3 = 12 m ²

b) VO = x - 3
Aire du triangle VOE = m ²
Aire du carré OILE = 3 ´ 3 = 9 m ².

D'où l'aire A₁ de la voile

A₁ = 1,5x - 4,5 + 9

A₁ = 1,5x + 4,5


2ème type de voile

AU = 4
SA = x.

c)

d) A₂ = 14 m ² équivaut à 2x = 14
soit x = 7 m.


PARTIE II

a) A₁ = A₂ équivaut à 1,5 x + 4,5 = 2x
1,5x - 2x = -4,5
-0,5x = -4,5
x = 9 m

b) 1,5x + 4,5 2x
-0,5x -4,5
x 9

A₁ A₂ pour x 9.


PARTIE III

1) a)

b) D₁ : y = 1,5x + 4,5
L'ordonnée de B de D₁ ayant pour abscisse 5 est

y = 1,5 ´ 5 + 4,5
y = 12
soit 12.

2) a) Voir figure à la question 1) a).

b) L'abscisse du point C de D₂ ayant pour ordonnée 14 est :

2x = 14
x = 7
soit 7.

3) Pour résoudre graphiquement A₁ = A₂
il suffit de lire sur le graphique l'abscisse du point d'intersection des deux droites D₁ et D₂ soit 9.
(voir courbe 1) a).)

4) Pour une hauteur inférieure à 8m, il faut choisir le premier type de voile qui donnera l'aire la plus grande possible, la droite D₁ étant située au-dessus de D₂.

2022 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite