Annales gratuites Brevet Série Collège : Bloc de pierre

Un artisan dispose d'un bloc de pierre ayant la forme d'un parallélépipède rectangle dont l'une des faces est un carré.
Il désire façonner ce bloc de pierre afin de réaliser un trophée, constitué d'une pyramide régulière à base carrée posée sur un socle.
Les figures représentent le bloc de pierre avant façonnage (figure 1) puis le trophée après mise en place du socle (figure 2).

Figure 1Figure 2

Description de la figure 1 :

ABCDHEFG représente le parallélépipède rectangle de base carrée ABCD. Il est scié dans le plan STUV parallèle à la base ABCD ce qui dégage deux blocs :
- le bloc B1 qui est un parallélépipède rectangle ABCDVSTU à base carrée qui servira à tailler la pyramide régulière ABCDM.
- le bloc B2 qui est un parallélépipède rectangle STUVHEFG qui servira de socle à la pyramide comme représenté par la figure 2.

Les points I et J sont les centres respectifs des carrés ABCD et EFGH.
On admettra que (IJ) est parallèle à (AE), que IJ = AE et que le centre M du carré STUV est un point du segment [IJ].
L'unité de longueur choisie est le cm et l'unité de volume est le cm ³.

On donne AB = BC = 6 ; AE = 12.
On pose MJ = x.

1ERE PARTIE

1) On suppose que x = 1. Calculer pour cette valeur de x :
a) Le volume de la pyramide ABCDM.

b) Le volume du socle correspondant.

2) On suppose que x = 5. Calculer pour cette valeur de x :
a) Le volume de la pyramide ABCDM.

b) Le volume du socle correspondant.


2EME PARTIE

Dans toute la suite on considère que, pour des raisons esthétiques, x doit être compris entre 1 et 5. Le but des questions qui suivent est de déterminer par deux méthodes s'il existe une valeur de x pour laquelle la pyramide et le socle correspondant ont même volume.

1ère méthode :

a) Calculer MI en fonction de x.

b) Montrer que le volume V de la pyramide ABCDM s'exprime en fonction de x par la formule V = 144 - 12x.

c) Montrer que le volume V' du bloc B2 s'exprime en fonction de x par la formule V' = 36x.

d) Déterminer la valeur de x pour laquelle V = V'.

2ème méthode :

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Pour le représenter sur la feuille de papier millimétré on placera l'origine en bas à gauche de la feuille .

On prendra comme unités graphiques :
- sur l'axe des abscisses : 2 cm pour une unité.
- sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 10 unités.

a) Tracer dans ce repère la droite (D) d'équation y = -12x + 144 ainsi que la droite () d'équation y = 36x.

b) Par lecture graphique, et en faisant apparaître les constructions nécessaires sur le graphique, indiquer la valeur de x pour laquelle la pyramide et son socle ont même volume. Conclure par une phrase.

1ERE PARTIE

1) a) La surface de base est S = 36.
La hauteur est h = IM = 12 - 1 = 11.
Volume de la pyramide :

b) Volume du socle :

2) a) Pour x = 5, on a h = 12 - 5 = 7
donc

b)

2EME PARTIE

1ère méthode

a) MI = 12 - x

b)

c)

d) V = V' pour 144 - 12x = 36x
c'est-à-dire 48x = 144 ou encore x = 3 cm

2ème méthode

a)

b) Le point d'intersection des droites (D) et () a pour abscisse 3.
Conclusion : le socle et la pyramide ont le même volume lorsque x = 3 cm.

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