Annales gratuites Brevet Série Collège : CDI

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

La figure ci-dessous est une vue de la surface au sol du C.D.I. d'un collège. Ce C.D.I. doit être réaménagé en deux parties distinctes : une salle de recherche et une salle de travail.

ABCE est un trapèze rectangle tel que AB = 9 m, BC = 8 m et DE = 6 m.

M est un point du segment [AB].

On pose AM = x
(x est une distance exprimée en mètre : ).

l'aire d'un trapèze de hauteur h, de bases b et B, est donnée par
.

La documentaliste souhaite que l'aire de la salle de travail soit égale à celle de la salle de recherche.

1. Dans cette question, uniquement, on suppose : x = 1. Calculer l'aire de trapèze AMFE (salle de recherche), et l'aire du rectangle MBCF (salle de travail).

2. a. Exprimer, en fonction de x, l'aire du trapèze AMFE.
    b. Exprimer, en fonction de x, l'aire du rectangle MBCF.

3. On se propose de représenter graphiquement cette situation à l'aide de deux fonctions affines f et g.

f est définie par : 
g est définie par : 

Sur la feuille de papier millimétrée, construire un repère orthogonal :
 - l'origine sera placée en bas à gauche,
 - en abscisse, on prendra 2 cm pour 1 unité (2 cm pour 1 m),
 - en ordonnée, on prendra 1 cm pour 4 unités (1 cm pour 4 m²).

Représenter les fonctions affines f et g, pour .

4. a. En utilisant le graphique, indiquer la valeur de x pour laquelle , ainsi que l'aire correspondante. Mettre en évidence ces valeurs sur le graphique (pointillés, couleurs...).
    b. Retrouver les résultats précédents par le calcul.

Dans cette partie, on pose x = 3,5.

1. Donner en cm, les dimensions de la salle de travail MBCF.

2. On souhaite recouvrir le sol de la salle de travail à l'aide d'un nombre entier de dalles carrées identiques, de côté c entier le plus grand possible.

a. Expliquer pourquoi c est le PGCD de 800 et 550.
b. Calculer la valeur de c, en indiquant la méthode utilisée.
c. Combien de dalles sont nécessaires pour recouvrir le sol de la salle de travail ?

3. Les dalles coûtent 13,50 € le mètre carré.

Quelle somme devra-t-on payer pour acheter le nombre de dalles nécessaire ?

1.
AM = 1.
MF = 8
EF = ED + DF = 6 + 1 = 7
L'aire du trapèze AMFE =
Soit 32 m²

MB = AB - AM = 9 + 1 = 8
BC = 8
L'aire du rectangle MBCF = MB ´ BC = 8 ´ 8
Soit 64 m²

2.a.
L'aire du trapèze AMFE =

b.
L'aire du rectangle MBCF = 8 ( 9 - x ) = - 8x + 72

3.
f(x) = - 8x + 72

g(x) = 8x + 24

4.a.
Par lecture graphique f(x) = g(x) pour x = 3 et l'aire correspondante à cette valeur de x est de 96 m²

b.
f(x) = g(x) équivaut à - 8x + 72 = 8x + 24
ou - 16x = - 48
Soit x = 3
et f(3) = - 8 ´ 3 +72 = 48
Donc l'aire correspondant est 2 ´ 48 soit 96 m²

x = 3,5

1. Les dimensions de la salle de travail MBCF sont
MB = 9 - 3,5 = 5,5 m = 550 cm
et BC = 800 cm

2.a. Pour obtenir un nombre entier de dalles il est nécessaire que c divise 800 et 550 et pour obtenir c le plus grand possible, c doit être le PGCD de 800 et 550.

b. On a :
800 = 550 ´ 1 +250
550 = 250 ´ 2 +50
250 = 5 ´ 50
En faisant les divisions euclidiennes successives , le dernier reste non nul est 50 donc PGCD(800 ; 550) = 50

c. Sur la longueur on aura :
= 16 dalles
sur la largueur on aura :
= 11 dalles
soit en tout 16 ´ 11 = 176 dalles.

3. La surface d'une dalles est de :
50 ´ 50 = 2 500 cm².
soit 0,25 m²
Il y a 4 dalles au m².
donc 4 dalles coûtent 13,50€
or 176 = 4 ´ 44
donc le prix à payer sera :
44 ´ 13,50 = 594.

Soit 594 €