Annales gratuites Brevet Série Collège : Cercle

La figure ci-contre n'est pas à refaire sur la copie. Elle n'est pas donnée en vraie grandeur.

Le rayon du cercle (C) de centre O est égal à 3 cm. [AB] est un diamètre de ce cercle. Les points C et D appartiennent au cercle et la droite (CD) est la médiatrice du rayon [OA].La droite (OC) coupe en T la tangente au cercle (C) au point B.

1) Montrer que (CM) et (BT) sont parallèles.

2) Calculer, en utilisant la propriété de Thalès, la longueur OT.

3)
     a) Démontrer que le triangle COA est équilatéral.
     b) En déduire une mesure (en degrés) de l'angle puis une mesure (en degrés )de l'angle .

1) Dans le repère orthonormé ( O, I, J ) représenté sur la feuille annexe N°1, placer les points suivants :

A ( 2; 3 ), B ( 5; 6 ) et C ( 7; 4 ).

2) On admettra que AB = 3et que BC = 2. Calculer la distance AC et prouver que le triangle ABC est rectangle en B.

3) Représenter le point D, image du point A par la rotation de centre B et d'angle 90° ( dans le sens qui est indiqué sur la feuille annexe et qui est le sens contraire des aiguilles d'une montre).

4) Représenter le point M tel que . Quelle est la nature du quadrilatère BCMA?

5)
      a) Représenter le point N image de D dans la translation de vecteur .

      b) Expliquer pourquoi les points B, C et D sont alignés.

      c) Démontrer que les points A, M, et N sont alignés.

1. (CD) étant la médiatrice de [OA], elle est perpendiculaire à (AB).
(BT) étant la tangente à ( C ) en B, elle est aussi perpendiculaire à (AB).
Donc (CM) et (BT) sont parallèles.

2. La propriété de Thalès permet d'écrire :
    Or : OC = OB = 3
                            et OM = 1,5

Donc

3.
a) C étant sur la médiatrice de [OA], on CA = CO.
De plus, OC = OA, car [OC] et [OA] sont 2 rayons de ( C ).
Donc OC = OA = CA, et le triangle COA est équilatéral.

b) (CM) est la bissectrice intérieure de l'angle et donc = 30°.
est un angle au centre et est un angle inscrit associé. Donc = 60°.

1. voir figure ci-dessus.

2.
         
AB² + BC² = AC² : d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. voir figure ci-dessus.

4. Puisque , le quadrilatère BCMA est un parallélogramme.
De plus, il est rectangle en B.
C'est donc un rectangle.

5.
a) voir figure ci-dessus.

b) On a = 90° car le triangle ABC est rectangle en B et = 90° car D est l'image de A dans la rotation de centre B et d'angle 90°.
Les points B, C et D sont donc alignés : ils se trouvent sur la perpendiculaire à (AB) issue du point B.
c) On a , car BCMA est un rectangle et par construction.

A, M et N sont donc les images respectives de B, C et D dans la translation de vecteur .
La translation conservant l'alignement,
on en déduit que A, M et N sont alignés.