Annales gratuites Brevet Série Collège : Cercle et pyramide

EXERCICE 1

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,I,J) ; l'unité graphique est le centimètre.

1) a) Placer les points P (4 ; 0) ; Q (0 ; 8) et M (2 ; 4).

b) Vérifier que M est le milieu du segment [PQ].

2) C désigne le cercle circonscrit au triangle OPQ.
Quel est le centre du cercle C ?
Tracer le cercle C. Calculer son rayon.

3) Soit () la droite passant par Q et perpendiculaire à la droite (OM).
K désigne le point d'intersection des droites (OM) et ().
a) Déterminer l'équation de la droite (OM).

b) Déterminer l'équation de la droite ().

c) Calculer les coordonnées du point K.

EXERCICE 2

Le solide, est constitué de deux parties :
- la partie supérieure est une pyramide régulière SABCD, de sommet S, de base carrée ABCD et de hauteur [SO] ;
- la partie inférieure est un pavé droit ABCDEFGH ;
- dimensions en centimètres : AB = 30 ; AE = 10 ; SO = 30.

1) Calculer le volume de la partie inférieure du solide.

2) Calculer le volume total du solide.

3) a) Calculer la valeur exacte de AO.

b) En déduire la mesure, arrondie au degré, de l'angle.

EXERCICE 1

1) a) Voir dessin à la fin.

b) Calculons les coordonnées du milieu de [PQ].

M est le milieu de [PQ].

2) OPQ est un triangle rectangle en O.
Donc le centre du cercle circonscrit au triangle OPQ est le milieu de l'hypoténuse, c'est-à-dire M.
Le rayon du cercle est MQ.

C a pour centre M et pour rayon cm.

3) a) Equation de (OM).

O appartient à (OM) donc les coordonnées de O vérifient l'équation de la droite (OM).
(OM) a pour équation y = 2x.

b) () a pour équation y = m'x + p'
or () et (OM) sont perpendiculaires
donc m ´ m' = -1
par conséquent
() a donc pour équation
or Q appartient à () donc les coordonnées de Q vérifient l'équation de la droite ().

d'où p' = 8
() a pour équation .

c) Les coordonnées de K vérifient le système :

 

EXERCICE 2

1) Volume de la partie inférieure : V ₁= 10 ´ 30 ² = 9000 cm ³

2) Volume de la partie supérieure :
d'où le volume totale du solide : V = 18000 cm ³.

3) a) Calculons AC :

dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AC ² = AB ² + BC ² = 1800

donc cm.

b) Dans le triangle SAO rectangle en O, on a :


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