Annales gratuites Brevet Série Collège : Cercle et triangle

12 points

Exercice 1
1. Placer les points A(—3 ; 1), B(—1,5 ; 2,5) et C(3 ; —2) dans le repère orthonormé (O, I, J) de l'annexe 1 ci-jointe.
2. Montrer que.
3. Sachant que et, démontrer que ABC est un triangle rectangle.
4. Placer le point D image de C par la translation de vecteur .
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.

Exercice 2
Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que SU = 3 cm.

1. Faire une figure.
2. Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.
3. Donner la valeur arrondie au dixième de l'angle.
4. En déduire une valeur approchée au dixième de. Justifier votre réponse.

Exercice 3
Sur la figure ci-dessous les mesures ne sont pas respectées.

On a  cm,  cm, CO = 3 cm,  est un angle droit et.

1. Montrer que OB = 9 cm.
2. Montrer que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.

Annexe 1

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Triangle rectangle
● Repère orthonormé
● Propriété de Thalès

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Propriété de Pythagore
● Trigonométrie

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Connaître la propriété de l'angle au centre.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Exercice 1 :
1. Voir graphique ci-dessous.

2. On sait que

Soit ici :

3. On a :
 et donc AC² = 45
 et donc AB² = 4,5
 et donc BC² = 40,5
On constate que l'on a AC² = AB² + BC²

On en déduit, d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, que
le triangle ABC est rectangle en B.

4. Voir graphique ci-dessus.

5. Puisque D est l'image de C dans la translation de vecteur  on a
On en déduit que le quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme.
Comme de plus on a montré que l'angle  est un angle droit on sait que ABCD est un rectangle.

Exercice 2 :
1. Voir figure ci-dessous

2. Le triangle  est inscrit dans un demi-cercle, c'est donc un triangle rectangle en U.

3. Utilisons le sinus de l'angle

on a

En utilisant la touche sin^-1 de la calculatrice, il vient :

= 25,4 degrés à 10^-1 près

Les angles  et  interceptent le même arc .
Donc l'angle au centre  est le double de l'angle .
On a donc :  = 50,8 degrés à 10^-1 près.

Exercice 3
1. On sait que  est en angle droit donc le triangle AOB est un triangle rectangle.
On aura donc:

tan  =

soit encore tan 60° =

et finalement OB =

or

et donc OB =

OB = 9

2. On a OB = 9 et OC = 3

donc

de plus on a  et

donc

et donc  on a

Donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès on a (CD) // (AB)