Le sujet 1998 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
En 1997, le championnat de voile U.N.S.S. de la région Bourgogne s'est
déroulé au lac des Settons dans la Nièvre.
Le plan est muni d'un repère orthonormal (S, I, J) ; une unité
représente 10 km sur chaque axe.
S désigne le lac des Settons, D la ville de Dijon, de coordonnées
(7, 2), N la ville de Nevers de coordonnées (-7,
-2) et C la ville de Corbigny (dans la Nièvre)
de coordonnées (-3, 1).
1) Faire une figure, en plaçant les points S, D, N, C ainsi que les points
A (-4, 7) et M (6, -9)
représentant les villes d'Auxerre et de Mâcon. On complètera
cette figure au fur et à mesure du problème.
2)
a - Quelles sont les coordonnées des vecteurs :
et ?
b - Montrer que le point S est le milieu du segment [ND].
3) Montrer que
et en déduire la distance à vol d'oiseau Nevers-Dijon, arrondie
à la dizaine de kilomètres la plus proche.
4) Montrer qu'une équation de la droite (AN) est y = 3x
+ 19.
5) Déterminer une équation de la droite ,
perpendiculaire à la droite (AN) et contenant le point S.
6) Vérifier, par le calcul, que la droite passe
par le point C.
7) En justifiant la réponse :
a - Les droites (CS) et (AD) sont-elles parallèles ?
b - La droite (CS) contient-elle le milieu du segment [AN] ?
1)
2)
et S est commun aux deux vecteurs donc S est le milieu de [ND]
3)
La distance Nevers-Dijon est environ égale à 150 km.
4)
La droite (AN) est la représentation graphique d'une fonction affine
donc de la forme y = ax + b avec :
d'où 9 = 3a
soit a = 3 et donc b = 7 + 12 = 19
L'équation de la droite (AN) sera y = 3x + 19
5)
La droite est perpendiculaire à
la droite (AN) donc son coefficient directeur est égal à.
De plus S est sur donc l'équation de la droite
est de la forme y = ax .
On a donc : .
6)
car
donc C est sur .
7)a.
et
ne sont pas colinéaires donc (CS) et (AD) ne sont pas parallèles.
b.
Le milieu de [AN] a pour coordonnées
or est différent
de
donc le milieu de [AN] n'est pas sur la droite (CS).