Annales gratuites Brevet Série Collège : Cône et cylindre

PARTIE 1 :

La partie supérieure d'un verre à la forme d'un cône de 6 cm de diamètre de base et de hauteur AS = 9 cm.

1) Montrer que le volume du cône est de 27p cm³.

2) On verse un liquide dans ce verre ( comme indiqué ci-contre ), le liquide arrive à la hauteur du point H.

    a) On suppose que HS = 4,5 cm. La surface du liquide est un disque. Calculer le rayon HC de ce disque ( on justifiera les calculs ).

    b) Exprimer en fonction de le volume correspondant du liquide en cm³;

    c) On pose maintenant HS = x ( en centimètres ). Montrer que le rayon HC de la surface du liquide est égale à: . Montrer alors par le calcul que le volume , V, de liquide est donné en fonction de x, par la formule: cm³;

    d) En utilisant la formule précédente, calculer le volume de liquide lorsque: HS = 3 cm puis lorsque HS = 6 cm.

PARTIE 2 :

On verse ensuite le liquide contenu dans ce cône dans un verre cylindrique de même section de 6 cm de diamètre et de même hauteur 9 cm ( figure ci-contre ).

1) Montrer que le volume total du cylindre est 81p cm³.

2) Combien de cônes remplis à ras bord faudra -t-il ainsi vider pour remplir le cylindre ?

3) On désigne par y la hauteur en cm de liquide contenu dans le cylindre (y = GF sur le dessin )

    a) Montrer que le volume, en cm³, du liquide contenu dans le cylindre est 9p y.

    b) Montrer que lorsqu'on verse, dans le cylindre, le volume cm³ du liquide contenu dans le cône, la hauteur y obtenue est reliée à x par la relation: x³ = 243 y.

    c) Recopier et remplir le tableau suivant où x et y sont reliés par la relation précédente ( on donnera les valeurs décimales approchées de y, avec trois décimales exactes ).

x	0	1	2	3	4	5	6	7
y

    d) Représenter graphiquement les huit points obtenus dans le tableau ( on prendra 1 cm comme unité sur l'axe des abscisses et 10 cm comme unité sur l'axe des ordonnées, l'origine du repère sera placée sur le bord inférieur gauche de la feuille ).

PARTIE 1 :

1)



cm³

2) a) Dans le triangle ABC, H est le milieu de AS et (HC)//(AB) donc (HC) est la droite des milieux pour le triangle (ABC)
Donc d'après la propriété de Thalès on a:

HC = AB

HC = = 1,5 cm.

    b)
v = 4,5

v =

v = cm³.

    c) Dans le triangle (ABC), on a toujours (HC)//(AB)
donc d'après la propriété de Thalès on a:

d'où,



HC =

HC =

donc le volume de liquide est égal à:

V =

V =

V = cm³.

    d) Si HS = 3 cm. alors,

V =

V = cm³.

Si HS = 6 cm alors,

V = cm³.



PARTIE 2 :

1)

Volume du cylindre:

cm³

2)

Il faut donc 3 cônes pour remplir le cylindre.

3) a)

cm³.

    b)

On a:
d'où,



et donc, x³ = 243y.

    c)

x	0	1	2	3	4	5	6	7
y	0	0,004	0,032	0,111	0,263	0,514	0,806	1,411

    d)

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