Annales gratuites Brevet Série Collège : Cône et hexagone

L'unité est le centimètre.
Dans la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.
On donne DE = 6, AE = 10, AB = 20 et BE = 16.

Les deux figures de cette page ne sont pas réalisées en vraie grandeur. Elles ne sont pas à reproduire.

1. Calculer la distance CD.
2. Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AB].
Ils vérifient : BF = 12,8 et BG = 16. Montrer que les droites (FG) et (AE) sont parallèles.

On considère le cône ci-contre de sommet S et dont la base est le disque de rayon [OA].
Ce cône a pour hauteur SO = 8 cm et pour génératrice SA = 10 cm.
I est un point du segment [SO] tel que SI = 2 cm.

1. Montrer que OA = 6 cm.
2. Montrer que la valeur exacte du volume V du cône est égale à . Donner la valeur arrondie au mm³ près.
3. Déterminer, au degré près, la mesure de l'angle .
4. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et passant par le point I. La section obtenue est un disque de centre I, réduction du disque de base.
   a. Déterminer le rapport k de cette réduction.
   b. Soit V ' le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre I. Exprimer V ' en fonction de V, puis donner la valeur arrondie de V ' au mm³ près.

Sur la figure de la feuille annexe (à rendre avec la copie), sont représentés 8 hexagones réguliers. Les constructions demandées dans cet exercice doivent être effectuées directement sur cette feuille annexe.
1. Construire le point M tel que .
2. Construire le point Q, symétrique de H par rapport à la droite (BE).
3. Construire le point P, image du point C par la rotation de centre E et d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre.

1. Les droites (CD) et (AB) sont parallèles, donc d'après la propriété de Thalès on a :

2. On sait que :

et que :

on a donc

et donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès (AE) // (FG).

1. Le triangle SOA est rectangle en O donc d'après la propriété de Pythagore on a :

SA² = OA² +  OS²

d'où

10² = OA² + 8²
OA² = 100 - 64
OA² = 36

et donc

OA =  = 6
OA = 6 cm

2. On sait que d'où

d'où

soit V = 301,592 cm³ à 1 mm³ près par défaut.

3. Le triangle ASO est rectangle, donc

donc à 1° près par excès

4. a) On a :

donc le rapport de réduction des disques de base entre eux est de soit .

b) On aura :

à 1 mm³ près par défaut.