Le sujet 1998 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
L'unité de longueur est le centimètre.
Soit un triangle ADB rectangle en D, tel que DA = 12 et DB = 16.
1)
a - Construire le triangle ADB
b - Calculer AB
2)
a - Placer le point C du segment [BA] tel que BC = 8
Tracer le cercle (C) de diamètre [BC]
Le cercle (C) recoupe la droite (BD) en E.
b - Démontrer que le triangle BEC est rectangle en E.
c - En déduire que les droites (AD) et (CE) sont parallèles.
d - Calculer EC et BE.
3) On note M le milieu de [AB], et H le point d'intersection des droites (EC) et (DM).
Calculer MC, puis CH.
4) La droite passant par B et perpendiculaire à la droite (DM) coupe la droite (EH) en F.
a - Que représente le point H pour le triangle BDF ?
b - En déduire que les droites (BH) et (DF) sont perpendiculaires.
1) DA = 12 BD = 16
a)
b) Le triangle ADB est rectangle en D d'après la propriété
de Pythagore on a :
DA2 + DB2 = AB2
AB2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202
AB = 20 cm
2) a - Le triangle BEC est inscrit dans un demi-cercle, il est rectangle en
E.
b - Les droites (AD) et (CE) sont perpendiculaires à (BD) elles sont
donc parallèles.
c - (AD) // (CE) donc d'après la propriété de Thalès
on a :
cm
et
cm
3) MC = MB - BC = 10 -
8 = 2 cm
D'après la propriété de Thalès on a :
cm
4) a - H est le point de concours des hauteurs, c'est l'orthocentre du triangle BDF.
b - (BH) est la troisième hauteur du triangle BDF donc (BH) (DF).