Annales gratuites Brevet Série Collège : Droites et cercles

L'unité de longueur est le centimètre.
Soit un triangle ADB rectangle en D, tel que DA = 12 et DB = 16.

1)
a - Construire le triangle ADB

b - Calculer AB

2)
a - Placer le point C du segment [BA] tel que BC = 8
Tracer le cercle (C) de diamètre [BC]
Le cercle (C) recoupe la droite (BD) en E.

b - Démontrer que le triangle BEC est rectangle en E.

c - En déduire que les droites (AD) et (CE) sont parallèles.

d - Calculer EC et BE.

3) On note M le milieu de [AB], et H le point d'intersection des droites (EC) et (DM).
Calculer MC, puis CH.

4) La droite passant par B et perpendiculaire à la droite (DM) coupe la droite (EH) en F.
a - Que représente le point H pour le triangle BDF ?

b - En déduire que les droites (BH) et (DF) sont perpendiculaires.

1) DA = 12 BD = 16

a)

b) Le triangle ADB est rectangle en D d'après la propriété de Pythagore on a :
DA² + DB² = AB²
AB² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20²
AB = 20 cm

2) a - Le triangle BEC est inscrit dans un demi-cercle, il est rectangle en E.

b - Les droites (AD) et (CE) sont perpendiculaires à (BD) elles sont donc parallèles.

c - (AD) // (CE) donc d'après la propriété de Thalès on a :

cm

et

cm

3) MC = MB - BC = 10 - 8 = 2 cm

D'après la propriété de Thalès on a :

cm

4) a - H est le point de concours des hauteurs, c'est l'orthocentre du triangle BDF.

b - (BH) est la troisième hauteur du triangle BDF donc (BH) (DF).

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