Le sujet 1999 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Travaux géométriques |
EXERCICE 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal. L'unité graphique est le centimètre.
On considère les points A (2;-4) et B (-2;8).
Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.
1. Démontrer que la droite (AB) a pour équation y = -3x + 2.
2. On considère la droite (D) d'équation
Construire la droite (D).
Les droites (D) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier la réponse.
3. Calculer les coordonnées du point R, point d'intersection des droites (D) et (AB)
et démontrer que R est le milieu du segment [AB].
4. Que représente la droite (D) pour le segment [AB] ? Justifier la réponse.
EXERCICE 2
La figure, que l'on ne demande pas de reproduire, représente un rectangle
ABCD de centre O et le point E symétrique de O par rapport à C.
1. On considère la rotation de centre O qui transforme B en C. Quelle est l'image de D par cette rotation ?
(On ne demande pas de justifier).
2. Parmi les affirmations suivantes, recopier celles qui sont vraies (on ne demande pas de justification).
OA = CE
D est l'image de C par la translation de vecteur
3. On considère le point F tel que . Démontrer que C est le milieu du segment [BF].
EXERCICE 1
1) La droite (AB) a pour équation y = -3x + 2
car les coordonnées des points A et B vérifient cette équation.
En effet pour x = 2 on a y = -3 ´ 2
+ 2 = -4
(2, -4) sont les coordonnées de A
et pour x = -2 on a y = (-3) ´ (-2) + 2 = 8
(-2, 8) sont les coordonnées de B.
2) La droite de (D) a pour équation
La droite (D) est perpendiculaire à la droite (AB) car le produit de leurs coefficients directeurs est égal à .
3) Pour déterminer les coordonnées du point R intersection des droites (D) et (AB) il suffit de résoudre le système
ou bien
Ce qui donne x = 0 et y = 2
d'où le point R a pour coordonnées (0, 2).
Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont soit (0,2).
Donc R est bien le milieu de [AB].
4) La droite (D) est la médiatrice du segment [AB], car elle est perpendiculaire à [AB] en son milieu.
EXERCICE 2
1) L'image de D par cette rotation est A.
2) OA = CE
3) Comme alors le quadrilatère OBEF est un parallélogramme.
Donc ses diagonales BF et OE ont même milieu C.
Par conséquent C est le milieu du segment [BF].