Annales gratuites Brevet Série Collège : Espace vert

Chargé de créer un espace vert, un paysagiste propose d'implanter deux massifs de fleurs, l'un ayant la forme d'un triangle équilatéral et l'autre celle d'un rectangle. Son projet est illustré par le schéma ci-dessous.

M est un point du segment [AB]
De part et d'autre du segment [AB] sont représentés :

- un triangle équilatéral AMC

- un rectangle MDEB

L'unité de longueur est le mètre.

On a :       AB = 13       BE = 4

On note :  AM = x

On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie.

PARTIE A :

Dans un premier projet, le paysagiste fixe x = 6. On a donc AM = 6 et MB = 7

On appelle I le milieu du segment [AC]. Le paysagiste se demande si les points I, M et E sont alignés.

1) Quelle est la mesure en degrés de l'angle ? Justifier.

2) Calculer la tangente de l'angle .

    En déduire une mesure à 0,1 degré près de l'angle

3) a) Déduire des questions précédentes une mesure à 0,1 degré près de.

    b) Les points I, M et E sont-ils alignés ? Justifier.

PARTIE B :

Souhaitant entourer par des bordures ces deux massifs, le paysagiste s'intéresse à leurs périmètres en fonction de la longueur AM = x

1) Calculer, en fonction de x, le périmètre du triangle AMC

    On appelle f la fonction qui à x associe ce périmètre

2) a) Calculer BM en fonction de x

    b) On appelle g la fonction qui à x associe le périmètre du rectangle MDEB

        Montrer que la fonction g est définie par : x 34 - 2 x

3) Le plan est muni d'un repère orthogonal . Sur une feuille de papier millimétré, on    placera l'origine en bas à gauche de la feuille et on prendra comme unités graphiques :

   - sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 1 unité.

   - sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 2 unités

On fera figurer sur la copie les explications utiles pour effectuer les représentations graphiques demandées ci-dessous.

    a) Représenter graphiquement la fonction f pour 0 x 13

    b) Sur le même graphique représenter la fonction g pour 0 x 13

4) a) Calculer la valeur de x pour laquelle les deux massifs ont le même périmètre.

    b) Vérifier graphiquement le résultat précédent : on tracera les pointillés utiles à la lecture.

5) Le paysagiste décide de n'entourer que le massif rectangulaire MDEB. Il dispose de 25 m de bordure.

    a) Résoudre l'inéquation : 34 - 2x 25

    b) En déduire la plus petite valeur de AM pour laquelle le paysagiste peut border complètement le massif rectangulaire.

PARTIE A :

1) Comme le triangle AMC est équilatéral et que (MI) est la bissectrice de l'angle alors

    
    
    

2)

    d'où = 60,3° à 0,1 degré près.

3) a)
                  30 + 90 + 60,3 = 180,3°

    b) 180° donc I, M et E ne sont pas alignés.


PARTIE B :

1) Périmètre de AMC = 3x
    On a donc f(x) = 3x

2) a) BM = 13-x

    b)
        

3) a) Voir graphique de f.

    b) Voir graphique de g.

4) a) La valeur de x pour laquelle les deux massifs ont le même périmètre est la solution de l'équation 34-2x = 3x
        Soit x = 6,8

    b) Voir graphique.

5) a)
        

    b) La valeur minimale de AM est de 4,5.

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