Annales gratuites Brevet Série Collège : Hexagone régulier

12 points

Exercice 1 :
On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le centimètre.

1. Dans ce repère, placer les points :
A (1 ; 2), B (—2 ; 1), C (—3 ; —2).
2. Calculer les distances AB et BC.
3. Calculer les coordonnées du vecteur.
4. Construire le point D, image du point A par la translation qui transforme B en C.
5. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.

Exercice 2 :
Dans cet exercice, les réponses seront données sans justification.

ABCDEF est un hexagone régulier de centre O.

1. Quel est le symétrique du triangle OCD par rapport au point O ?
2. Quel est le symétrique du triangle EFO par rapport à la droite (EO) ?
3. Quelle est l'image du triangle OCD par la rotation de centre O, d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre ?

Exercice 3 :
La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
On ne demande pas de la reproduire.

Les points A, C et E sont alignés, ainsi que les points B, C et D.
Le triangle ABC est rectangle en B.
Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres.
BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.

1. Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.
2. En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
3. Calculer la longueur AB.

I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Repères et vecteurs
● Symétrie
● Propriété de Thalès
● Triangle rectangle

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Bien observer la figure pour déterminer les symétries demandées
● Propriétés de Thalès et Pythagore

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Bien argumenter pour démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Exercice 1 :
1.

2. On sait que :

Donc ici on a :

De même pour BC :

3.
On a :

Soit :

4. Voir graphique ci dessus

5. On sait que D est l'image du point A par la translation de vecteur.
On a donc.
On peut en déduire que ABCD est un parallélogramme.
De plus, on sait que deux de ses côtés consécutifs AB et BC sont égaux (à  d'après la question 2.) donc ABCD est un losange.

Exercice 2 :
1. Triangle OFA
2. Triangle EOD
3. Triangle EOD

Exercice 3 :
1. Dans le triangle CDE on a :
CD = 9,6 d'où CD² = 92,16
DE = 4 d'où DE² = 16
CE = 10,4 d'où CE² = 108,16.

On constate que :
92,16 + 16 = 108,16
Et donc CD² + DE² = CE².

D'où d'après la réciproque de la propriété de Pythagore :
CDE est un triangle rectangle en D.

2. Si CDE est rectangle en D, on a alors (DE) perpendiculaire à (CD).
Or B, C et D sont alignés donc (DE) est perpendiculaire à (BC).
Or on sait que le triangle ABC est rectangle en B et donc (AB) est perpendiculaire à (BC).
Comme deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles, on aura :
(DE) parallèle à (AB).

3. Comme (DE) est parallèle à (AB), on peut utiliser la propriété de Thalès et on aura :

D'où :

AB = 5 cm