Annales gratuites Brevet Série Collège : Parallélépipède

ABCDEFGH est un parallélépipède à base carrée. On donne AB = BC = 6 cm et BF = 4,5 cm.

1) montrer que DG = 7,5 cm.

2) Calculer la mesure de l'angle arrondie au degré.

3) Calculer en cm³, le volume de la pyramide ABCDG.

Sur la figure ci-dessous qui n'est pas en vraie grandeur, le point A est sur le segment [OB] et le point C est sur le segment [OD].

On donne :
OA = 8,5 cm ; AB = 11,5 cm ; OC = 5 cm ; CD = 7 cm.

1) Calculer les longueurs OB et OD.

2) Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Les constructions demandées dans cet exercice sont à réaliser sur la feuille annexe. Laisser les traces de construction visibles.

Sur la figure ci-dessous, on a représenté un parallélogramme ABCD de centre O. Les droites (BC) et (AC) sont perpendiculaires.

1) Tracer le cercle qui contient les trois points O, B et C. Justifier la position de son centre I.

2) Placer les points M et P tels que

3) Utilisation d'une transformation.
    a) Par quelle transformation a-t-on à la fois : O a pour image C et B a pour image M ?
    b) Montrer que, par cette transformation, le point D a pour image le point P.
    c) Montrer que les points P, C, M sont alignés.

1) Le triangle DHG est rectangle en F. D'après la propriété de Pythagore on a :
HD² + HG² = DG²
où HD = FD et HG = AG
d'où DG² = 36 + 20,25
= 56,25
d'où DG = 7,5 cm

2) Le triangle CDG est rectangle en C
donc =
et CG = FD donc =
d'où= 37° à 1 degré près.

V = 54 cm³

1) Les points A, B, O sont alignés.
On a donc
OB = OA +AB
= 8,5 + 11,5
= 20

Les points O, C, D sont alignés
donc OD = OC + CD
= 5 + 7
= 12

2)

On constate que

donc les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles (Propriété de Thalès).

1) Voir Figure

Comme le triangle OBC est rectangle en C alors le centre I du cercle est le milieu de l'hypoténuse OB.

2)

Voir Figure

3)
a) Comme , O a pour image C et B a pour image O dans la translation de vecteur .
b) On a
Donc le quadrilatère ODPC est un parallélogramme.
Donc
D'où P est l'image de D dans la translation de vecteur
c) On a
Donc les vecteurs sont colinéaires.
Donc les points P, C, M sont alignés.