Annales gratuites Brevet Série Collège : Parallélépipède rectangle

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
On donne :
FE = 12 cm ; FG = 9 cm ; FB = 3 cm ; FN = 4 cm et FM = 3 cm.

1. Calculer la longueur MN.
2. Montrer que l'aire du triangle FNM est égal à 6 cm².
3. Calculer le volume de la pyramide (P) de sommet B et de base le triangle FNM.
4. On considère le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide (P) au parallélépipède rectangle.
    a) Quel est le nombre de faces de ce solide?
    b) Calculer son volume.

La figue ci-contre n'est pas représentée en vraie grandeur.
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne : AB = 2,4 cm ; AC = 5,2 cm ; AN = 7,8 cm et MN = 4,5 cm.

1. Calculer les longueurs AM et BC.
2. Sachant que AP = 2,6 cm et AR = 1,2 cm montrer que les droites (PR) et (BC) sont parallèles.

1) Le triangle MFN est rectangle en F, puisque le parallélépipède est rectangle.
Donc d'après la propriété de Pythagore on a :

MN² = NF² + FM²
MN² = 4² + 3²
MN² = 16 + 9
MN² = 25
et donc MN = 5

2) Aire du triangle FNM =  ´  NF ´  FM
Aire du triangle FNM =  ´  3 ´  4
Aire du triangle FNM = 6 
Aire du triangle FNM = 6 cm²

3) Volume de P =  ´  Surface base ´  Hauteur
V =  ´  Aire du triangle FNM ´  BF
V =  ´  6 ´  3 = 6
d'où V = 6 cm²

4) a) Le solide obtenu comporte une face de plus que le parallélépipède initial, il aura donc 6 + 1 = 7 faces.

    b) Volume = Volume du parallélépipède - Volume de la pyramide

d'où

V = 12 ´  9 ´  3 - 6
V = 324 - 6
V = 318

d'où V = 318 cm³

1) Les droites (MN) et (BC) sont parallèles donc d'après la propriété de Thalès on a :

d'où

et donc

AM = 3,6 cm

d'où encore

et donc

soit BC = 3 cm

2) AP = 2,6 et AR = 1,2

        et        

donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès on a : (PR) // (BC)