Annales gratuites Brevet Série Collège : Parcelles de terrain

Frédéric et Gilles ont acheté deux parcelles de terrain voisines, dessinées ci-dessous. Sur cette figure, ABCD est un carré et CDE est un triangle rectangle. Dans ce problème, il est inutile de refaire la figure.
L'unité de longueur est le mètre et l'unité d'aire est le mètre carré.

1. Frédéric a payé 320.000 F la parcelle ABCD à raison de 200 F le mètre carré.
     a) Calculer l'aire de la parcelle de Frédéric.
     b) En déduire la longueur du côté [AB] de son terrain.

2. Gilles a acheté la parcelle CDE à 250 F le mètre carré, car cette parcelle est mieux exposée.
     a) Calculer l'aire de la parcelle de Gilles, sachant que DE = 50.
     b) En déduire le prix payé par Gilles pour l'achat de son terrain.

Gilles achète à Frédéric un morceau de terrain CDM où M est un point du segment [DA].
Pour la suite, on prend AB = 40, DE = 50 et on pose DM = avec 0 < < 40.

1. a) Exprimer l'aire du triangle CDM en fonction de .
    b) En déduire l'aire du quadrilatère ABCM et l'aire du triangle CME en fonction de .
    c) Calculer la valeur de pour laquelle les aires et sont égales.

2. On considère les fonctions et définies par et , où est un nombre positif inférieur à 40.
Représenter graphiquement, dans un même repère orthogonal, les deux fonctions (on prendra, sur la feuille de papier millimétré, l'origine du repère à gauche et à environ 5 cm du bas ; on choisira 1 cm pour 2 unités en abscisses et 1 cm pour 100 unités en ordonnées).

3. Comment peut-on retrouver le résultat de la question 1. c) en utilisant les représentations graphiques de la question 2 ?

4. En utilisant uniquement le graphique, répondre aux questions suivantes et faire apparaître les tracés ayant permis de répondre.
    a) Quelles sont les aires des terrains de Frédéric et de Gilles si le point M est le milieu du segment [DA] ?
    b) Quelle est la valeur de lorsque l'aire du terrain de Frédéric est 1.500 ? Quelle est alors l'aire du terrain de Gilles ?

1 -
a) Aire de la parcelle :
             

b)  Aire du carré = côté x côté
           donc AB =
                        = 40 m

2 -
a)  Aire du triangle CDE = (DE x CD)
                           = x 50 x 40
                           = 1 000 m²

b)  Prix payé par Gilles :
            250 x 1 000 = 250 000 F

1.
a)

b)  E_ABCM = aire du carré ABCD - aire du triangle CDM.
                   =1 600 - 20x

         G_CHE = aire du triangle CDE + aire du triangle CDM
                 = 20x + 1 000

c)  E_ABCM = G_CME
         1 600 - 20x = 20x + 1 000
                    40x = 6 00
                       x =
                        x = 15

2.   (voir courbe)

3.   La solution (x = 15) de la question 1 - c est l'abscisse du point d'intersection des droites représentant les deux fonctions f et g.

4.
a)  Si M est le milieu de [DA] alors x = 20.
          Graphiquement, on peut lire :
          Aire du terrain de Frédéric = 1 600 m²
          Aire du terrain de Gilles = 1 200 m²

b)  Si Aire du terrain de Frédéric = 1 500 m²
          on lit graphiquement : x = 5
          et Aire du terrain de Gilles = 1 100 m²