Annales gratuites Brevet Série Collège : Pyramide

1. Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.
2. Prouver que le triangle EFG est rectangle en E.
3. Calculer la mesure de l'angle . Le résultat sera arrondi au degré près.
4. Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe le côté [EG] en M.
5. Calculer la valeur exacte de BM, puis en donner l'arrondi au mm près.

On considère la pyramide régulière OABCD. La base ABCD est un carré, H est le point d'intersection des diagonales [BD] et [AC]. On sait que la hauteur [0H] mesure 4 cm.

1. Sachant que le volume de la pyramide est égal à 24 cm³, montrer que l'aire de la base est égale à 18 cm².
2. En déduire que le côté [AB] du carré ABCD mesure .
3. Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré ABCD.
4. Calculer l'aire du triangle AOC.

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité choisie est le centimètre.
1. Placer les points A (2 ; 2), B (-4 ; 5) et C (-4 ; -2).
2. a) Montrer que AC est égale à .
b) Calculer BC.
c) Le triangle ABC est-il isocèle en C ? Justifier.
3. a) Construire le milieu K du segment [AB].
b) La droite (CK) est-elle la médiatrice du segment [AB] ? Justifier.

1.

2. On a EF² = 12² = 144
EG² = 5² = 25
FG² = 13² = 169
On constate que 144 + 25 = 169
donc EF² + EG² = FG²
et donc d'après la réciproque de la propriété de Pythagore on a le triangle EFG rectangle en E.

3.
d'où à 1 degré près par excès.

4. Voir graphique ci-dessus.

5. On sait que (BM) // (FG) donc d'après la propriété de Thalès on a :

d'où
et donc
et donc MB = 7,6 cm à 1 mm près par excès.

1. On sait que

donc si Volume = 24 cm³ et hauteur = OH = 4,
on a :

2. ABCD est un carré donc son aire est égale au côté au carré et donc

3.
donc

4.

1.

2.
a)

b) BC = 7 cm (les points B et C ont la même abscisse)
c) (ABC) est isocèle en C si et seulement si AC = BC or
donc (ABC) n'est pas isocèle en C.

3.
a) voir graphique ci-dessus
b) (CK) est la médiane du triangle (ABC) issue de C.
(CK) serait aussi la médiatrice si (ABC) était isocèle, ce qui n'est pas le cas donc (CK) n'est pas la médiatrice de [AB].