Annales gratuites Brevet Série Collège : Pyramide

Dans tout ce sujet, les figures données ne sont pas à l'échelle.

L'unité de longueur utilisée est le cm, l'unité d'aire est le cm^² et l'unité de volume est le cm³.

   On considère une pyramide régulière à base carrée ABCD et de sommet principal S.

   On nomme O le centre du carré ABCD et M le milieu du segment .

   On rappelle que le triangle OSM est rectangle en O.

   On donne : OS = 12 et AB = 6.

PARTIE A :

1) a) En utilisant le triangle ABC démontrer que OM = 3.

    b) Dessiner en dimensions réelles le triangle OSM.

2) Placer sur le segment un point O' et sur le segment le point M' tel que soit parallèle à .

    a) On pose O'S = x, x désignant un nombre positif inférieur ou égal à 12.

        Exprimer la longueur OO' en fonction de x.

    b) Démontrer que O'M' = 0,25 x

PARTIE B :

On coupe la pyramide SABCD précédente par un plan parallèle à la base et passant par le point O' du segment .

On nomme A', B', C', D' les intersections respectives des segments , , et avec le plan de coupe. A partir du carré A'B'C'D' on construit le parallélépipède A'B'C'D'HGFE tel que le carré EFGH soit dans le plan de la base ABCD.

          On pose comme en partie A : O'S = x.

1) Exprimer en fonction de x :

    a) La longueur A'B' (on admettra que A'B' = 2 O'M').

    b) L'aire du carré A'B'C'D'.

    c) Le volume V(x) du parallélépipède A'B'C'D'HGFE.

        (on montrera que V(x) = 3x² - 0,25x³).

2) Recopier et compléter le tableau suivant :

X	4	7	10
V(x)

3) On donne ci-dessous la représentation graphique de V dans un repère du plan.

    (V(x) est l'image de x et se lit en ordonnée comme indiqué sur le graphique).

    a) On peut lire sur le graphique deux valeurs de x pour lesquelles V(x) = 32. L'une figure dans le tableau de la question 2 précédente, l'autre sera lue au dixième près sur le graphique. Quelles sont ces deux valeurs ?

    b) Même question qu'au a ) mais avec cette fois V(x) = 50.

    c) Sur le graphique, on constate et on admettra qu'il existe une valeur a de x pour laquelle le volume du parallélépipède est maximum. Donner, à l'aide d'une lecture graphique, une valeur approchée de ce volume maximum ainsi qu'une valeur approchée du nombre a.

PARTIE A :

1) a) Dans le triangle ABC, (OM) est la droite des milieux, donc
    b) voir figure ci-dessous.

2) a) OO' = OS - O'S = 12 - x

    b) Les droites (OM) et (O'M') étant parallèles, on a d'après la propriété de Thalès :

, c'est à dire ;

         
         

PARTIE B :

1) a)
    
                                      

    c)

                   

                   

                   

2)

x	4	7	10
V(x)	32	61,25	50

3) a) V(x) = 32         pour x = 4        ou x = 10,9
        (lecture du graphique)

    b) V(x) = 50        pour x = 10       ou x = 5,6
         (lecture du graphique)

    c) Il apparaît sur le graphique que la courbe passe par un maximum pour a = 8,
        la valeur de ce maximum étant 64.
        Le volume maximum est donc 64. Il est réalisé lorsque x = 8.
        a = 8 et V(a) = 64

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