Annales gratuites Brevet Série Collège : Quadrilatère dans un rectangle

ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm.

M est le point du segment [BC] tel que BM = 2 cm.
N est le point du segment [CD] tel que CN = 2 cm.

1) Calculer AM sous la forme (b nombre entier le plus petit possible).

2) Démontrer que l'aire du quadrilatère AMCN est de 10 cm².

Les points M et N peuvent se déplacer respectivement sur les segments [BC] et [CD] de façon que BM = CN = x avec

1) Exprimer l'aire du triangle ABM en fonction de x.

2) a) Calculer DN en fonction de x.
     b) Démontrer que l'aire du triangle ADN en fonction de x est .

3) a) Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec OI = OJ = 1 cm, représenter graphiquement les fonctions affines :
et g : x
     b) Calculer les coordonnées du point R intersection de ces deux représentations.

4) a) Pour quelle valeur de x les aires des triangles ABM et ADN sont-elles égales ?
Justifier la réponse.
     b) Pour cette valeur de x, calculer l'aire du quadrilatère AMCN.

1) Le triangle ABM est rectangle en B donc d'après la propriété de Pythagore on a :
AM² = AB² + BM²
AM² = 36 + 4
AM² = 40

D'où

2)

1)

2)
a) Les points D, N, C sont alignés.
On a donc :
DN = DC - NC
DN = 6 - x

b) Aire ( ADN ) = 4 ´ (6 - x) ´ 1/2
                      = 2 ´ (6 - x)
                      = 12 - 2x

3)

a)

b) f(x) = g(x) ssi
   3x = - 2x + 12
   5x = 12
     x = 12/5

d'où les coordonnées du point .

4)
a)
Aire( ABM ) = Aire( ADN ) ssi f(x) = g(x) soit si x = 12/5.

b) Aire ( AMCN ) = 24 - 3x - (12 - 2x)
                         = 24 - 3x - 12 + 2x
                         = 12 - x
si x = 12/5, Aire( AMCN ) = 12 - 12/5 = 48/5.

Aire ( AMCN ) = 9,6 cm².