Le sujet 1999 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.
On appelle A et B les points dont les coordonnées sont : A (-1
; 3) et B (-3 ; -1).
1 - Placer les points A et B dans le repère.
2 - Soit (D) la droite d'équation y = 2x + 5.
a) Montrer que les points A et B appartiennent à la droite (D).
b) Tracer la droite (D).
3 - On appelle M le milieu du segment [AB].
a) Calculer les coordonnées du point M.
b) Déterminer une équation de la droite (OM).
c) Montrer que les droites (OM) et (AB) sont perpendiculaires.
4 - Soit C le symétrique du point O par rapport au point M.
a) Montrer, par le calcul, que les coordonnées de C sont (-4
; 2).
b) Calculer les distances OC et AB.
c) En déduire la nature du quadrilatère AOBC. Justifier la réponse.
5 - Construire l'image du quadrilatère AOBC par la translation de vecteur
1) Voir figure ci-dessous.
2) a) D : y = 2x + 5
si x = -1 alors y = -2
+ 5 = 3
donc A est sur (D).
si x = -3, alors y = -6
+ 5 = -1
donc B est sur (D).
b)
3) a)
b) Une équation de la droite (OM) est de la forme : y = ax
et 1 = a ´ -2
donc
d'où l'équation de (OM)
c) La droite (D) a pour coefficient directeur 2.
Le droite (OM) a pour coefficient directeur
Leur produit est égal à -1 donc (D)
est perpendiculaire à (OM).
4) a)
d'où xC + 2 = -2
xC = -4
et yC - 1 = 1
yC = 2
C (-4 ; 2)
b)
c) M milieu de [AB] et [OC]
(AB) est perpendiculaire à (OM)
donc (AOBC) est un losange.
De plus OC = AB, donc (AOBC) est un carré.