Annales gratuites Brevet Série Collège : Translation

Dans un repère orthonormal (O, I, J), on considère les points A (-4 ; 3), B (3 ; 2) et C (1 ; -2).
L'unité graphique est le centimètre.

PARTIE A

1. Placer les points A, B, C dans le repère (O, I, J) ci-dessous (annexe 2 de votre sujet).

2. a) Calculer AB.
b) On admet que le calcul donne.
Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
3. Soit H le milieu du segment [BC]. Vérifier par le calcul que H a pour coordonnées (2 ; 0).
4. Pourquoi le segment [AH] est-il une hauteur du triangle ABC ?
5. a) Prouver que
b) Calculer l'aire du triangle ABC.

PARTIE B

1. Calculer les coordonnées du vecteur 
2. Le point D est l'image du point B par la translation de vecteur .
a) Placer le point D.
b) Montrer par le calcul que D a pour coordonnées (8 ; -3).
3. Quelle est la nature du quadrilatère ACDB ? Justifier.

1.

2.
a)

b) Si alors AB = AC
donc le triangle ABC est un triangle isocèle de sommet A.

3. On a
et
d'où H (2 ; 0).

4. H est le milieu du segment [BC] donc dans le triangle (ABC), [AH] est la médiane issue de A. Et comme le triangle (ABC) est isocèle de sommet A, alors [AH] est aussi médiatrice et donc hauteur issue de A.

5.
a) (AH) est perpendiculaire à (BC) donc le triangle (ABH) est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore on a AB² = AH² + HB²
or
donc on a

b)

1.

2.
a) Voir graphique ci-dessus
b) Si D est l'image de B par la translation de vecteur alors on a
et donc x_D - x_B = 5 et y_D - y_B = -5
d'où x_D = 5 + x_B = 5 + 3 = 8 et y_D = -5 + y_B = -5 + 2 = -3
d'où D (8 ; -3).

3. On a donc le quadrilatère (ACDB) est un parallélogramme, de plus AB = AC donc c'est un losange.