Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle et cercle

On donne :

(cette figure n'est pas en vraie grandeur)

1.a) Calculer la longueur du segment [MN].
   b) Calculer la mesure de l'angle (arrondir à un degré près).

La droite (BM) recoupe le cercle (C) en P.

2.a) Démontrer que le triangle BPA est rectangle en P.
   b) En déduire que les droites (PA) et (MN) sont parallèles.

3. On sait maintenant que le triangle BPA est un agrandissement du triangle BMN.
a) Calculer le coefficient d'agrandissement.
b) Calculer BP.
c) Calculer l'aire du triangle BMN et en déduire l'aire du triangle BPA.

4. Soit E le milieu de [BN]. Démontrer que les droites (PO) et (ME) sont parallèles.

5. La droite (PO) recoupe le cercle (C) en K et la droite (PN) coupe la droite (BK) en I.
On sait que : lorsqu'un point appartient à une médiane d'un triangle et est situé aux deux tiers de cette médiane en partant du sommet, alors ce point est le centre de gravité du triangle.

Ecrire le rapport sous forme d'une fraction irréductible, puis démontrer que I est le milieu du segment [BK].

1 - a. Le triangle BMN est rectangle en M donc d'après la propriété de Pythagore on a :

BN² = MN² + BM²
d'où
MN² = BN² - BM²
MN² = 4² - (3,2)²
MN² = 16 - 10,24
MN² = 5,76

d'où
MN = 2,4

    b. Dans le triangle rectangle MBN, on a :
sin
sin
et donc  = 37° à 1° près par excès.

2 - a. Le triangle APB est inscrit dans le demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] donc il est rectangle en P.

    b. On sait que :
la droite (MN) est perpendiculaire à la droite (MB) et que la droite (AP) est perpendiculaire à la droite (MB) donc la droite (AP) est parallèle à la droite (MN).

3 - a. On obtient le coefficient d'agrandissement en calculant : 

    b. On a BP = 3 ´  BM
BP = 3 ´  3,2
BP = 9,6

    c. Aire du triangle
       Aire du trianglecm²
Comme le coefficient d'agrandissement est de 3, on aura :
Aire du triangle APB = 3² ´  Aire du triangle BMN
Aire du triangle APB = 9 ´  3,84
Aire du triangle APB = 34,56 cm²

4 - On sait que EB = 2
donc
de plus BP = 3 ´  MB
donc 
on a donc
Donc d'après la réciproque de la propriété de Thalès on a :  (OP) // (EM).

5 -
De plus O est le milieu de [PK], donc la droite (OB) est une médiane du triangle PBK.

Or , donc N est le centre de gravité du triangle PBK, c'est-à-dire le point d'intersection de ses médianes. Donc la droite (PN) est une médiane du triangle PBK et donc I est le milieu de [BK].