Le sujet 1998 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
PREMIERE PARTIE
Soit REC un triangle rectangle en R tel que : RE = 9 cm et RC = 12 cm.
Soit H le pied de la hauteur issue du sommet R.
1 - Calculer l'aire du triangle REC.
2 - Démontrer que EC = 15 cm.
3 - Déduire des questions précédentes que l'on a RH = 7,2
cm.
DEUXIEME PARTIE
On place un point M sur le côté [EC] du triangle REC et on note
x la distance EM, exprimée en cm (0 < x < 15).
1 - Exprimer en fonction de x la longueur MC.
2 - En remarquant que H est le pied de la hauteur issue de R dans chacun des
triangles REM et RMC :
a) Montrer que l'aire du triangle RME, exprimée en cm2, est
3,6x.
b) Montrer que l'aire du triangle RMC, exprimée en cm2, est
54 - 3,6x.
TROISIEME PARTIE
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre.
Sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 10 unités.
On fera le dessin sur la feuille de papier millimétré de votre sujet, en prenant l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille.
1 -
a) Représenter la droite d1 d'équation y =
3,6x.
b) Représenter la droite d2 d'équation y = 54
- 3,6x.
2 - Soit K le point d'intersection des droites d1 et d2.
En relation avec la deuxième partie, que représente l'abscisse
du point K ?
Que représente son ordonnée ?
3 - On veut trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle RMC est égale à 36 cm2.
Déterminer graphiquement cette valeur en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.
PREMIERE PARTIE
1)
2) Le triangle (REC) est rectangle en R.
D'après la propriété de Pythagore on a : EC 2
= ER 2 + RC 2 = 81 + 144 = 225 = 15 2
d'où EC = 15 cm.
3) Calcul de l'air du triangle RHC.
d'où
DEUXIEME PARTIE
1) MC = EC - EH = 15 - x.
2) a. cm 2
b. Aire RMC = Aire ERC - Aire REM = 54 - 3,6x. cm 2
TROISIEME PARTIE
1)
2) 3,6x est l'aire du triangle RME.
54 - 3,6x est l'aire du triangle RMC donc l'abscisse de K est la valeur
de x pour laquelle ces 2 aires sont égales, et son ordonnée
est la valeur de cette aire.
x = 7,5 et y = 27.
3) Voir figure x = 5 cm.