Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle rectangle

 

Dans ce problème, vous pourrez utiliser les données du tableau suivant:

On considère un triangle LMN rectangle en M tel que LM = 6 cm et .
Reproduire la figure en vraie dimension et la compléter au fur et à mesure des questions.

 
1) Montrer que la valeur exacte de LN est cm.

2) Tracer le cercle (C) de diamètre [ML] ; il recoupe le segment [LN] en P.
Quelle est la nature du triangle LMP ? Justifier.

3) Montrer que la valeur exacte de MP est 3 cm.

4) Montrer que la valeur exacte de LP est cm.

5) Tracer la droite perpendiculaire à (LN) passant par N ; elle coupe (LM) en R.
Que peut-on en déduire pour les droites (RN) et (MP)? Justifier.

6) Montrer que la valeur exacte de RN est 4 cm.

7) Calculer les aires des triangles MPL et RNL (on donnera les résultats sous leur forme exacte).
Quelle est la nature du quadrilatère MPNR ?
Calculer son aire.

8) Placer le point S symètrique de L par rapport à P et placer le point T image de S par la translation de vecteur.
Montrer que P est le milieu du segment [MT].

1)

d’où

2) Le triangle LMP est inscriptible dans un demi-cercle donc c'est un triangle rectangle en P.

3)

d’où

4)

d’où

5) Les droites (RN) et (MP) sont perpendiculaires à la droite (LN) donc la droite (RN) est parallèle à la droite (MP).

6) la droite (RN) est parallèle à la droite (MP) donc d'après la propriété de Thalès on a

d'où

7)

MPNR est un trapèze rectangle, son aire est égale à


8) On a
donc (STLM) est un parallélogramme donc P est le milieu de [MT].

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