Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle rectangle

Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire le cm².

La figure ci-dessus est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vrai grandeur.

ABC est un triangle tel que :
AC = 20 cm ; BC = 16 cm ; AB = 12 cm.

F est un point du segment [BC].
La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E.

On a représenté sur la figure le segment [BE].

PREMIERE PARTIE : (3,5 points)

1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

2) Calculer l'aire du triangle ABC.

3) Démontrer, en s'aidant de la question a) que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

DEUXIEME PARTIE : (4 points)

On se place dans le cas où CF = 4 cm.

1) Démontrer que EF = 3 cm.

2) Calculer l'aire du triangle EBC.

TROISIEME PARTIE : (4,5 points)

On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C. Dans cette partie, on pose CF = x (x étant un nombre tel que: 0 < x < 16).

1) Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à : .

2) Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est égale à 6x.

3) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est-elle égale à 33 ?

    Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de l'aire du triangle EBC ?

PREMIERE PARTIE :

1) AC² = 20² = 400
    BC² + AB² = 16² + 12² = 400
    Comme AC² = BC² + AB² alors d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

2)
                       = 96cm²

3) Comme les droites (AB) et (EF) sont perpendiculaires à la droite (BC) alors la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

DEUXIEME PARTIE :

1) On a d'après la propriété de Thalès
    

        
Soit EF = 3 cm.

2)
                         
                         

TROISIEME PARTIE :

1)
    

    

2)
                          
                           = 6x

On pose 6x = 33
               
                x = 5,5 cm.

Aire de EAB = Aire de ABC - Aire de EBC
    Aire de EAB = 96 - 6x.

La valeur de x pour laquelle l'aire du triangle EAB est égale au double de l'aire du triangle EBC est la solution de l'équation

       18x = 96
          
          

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