Le sujet 2000 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème |
Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire le cm2.
La figure ci-dessus est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vrai grandeur.
ABC est un triangle tel que :
AC = 20 cm ; BC = 16 cm ; AB = 12 cm.
F est un point du segment [BC].
La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E.
On a représenté sur la figure le segment [BE].
PREMIERE PARTIE : (3,5 points)
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
2) Calculer l'aire du triangle ABC.
3) Démontrer, en s'aidant de la question a) que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).
DEUXIEME PARTIE : (4 points)
On se place dans le cas où CF = 4 cm.
1) Démontrer que EF = 3 cm.
2) Calculer l'aire du triangle EBC.
TROISIEME PARTIE : (4,5 points)
On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C. Dans cette partie, on pose CF = x (x étant un nombre tel que: 0 < x < 16).
1) Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à : .
2) Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est égale à 6x.
3) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est-elle égale à 33 ?
Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de l'aire du triangle EBC ?
PREMIERE PARTIE :
1) AC2 = 202 = 4002)
= 96cm2
3) Comme les droites (AB) et (EF) sont perpendiculaires à la droite (BC) alors la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).
DEUXIEME PARTIE :
1) On a d'après la propriété de Thalès
Soit EF = 3 cm.
2)
TROISIEME PARTIE :
1)
2)
= 6x
La valeur de x pour laquelle l'aire du triangle EAB est égale au double de l'aire du triangle EBC est la solution de l'équation
18x = 96