Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle rectangle

On rappelle que l'aire d'un triangle quelconque est obtenue à l'aide de la formule de calcul suivante :
                    Aire = ½ (longueur d'un côté * longueur de la hauteur correspondante.)

I. Soit LAC un triangle rectangle en A.
On donne : LA = 9 cm ; AC = 12 cm.
[AH] est la hauteur issue de A.
.
a. Calculer l'aire du triangle LAC.
b. Montrer que : LC = 15 cm.
c. En exprimant différemment le calcul de l'aire du triangle LAC, montrer que : AH = 7,2 cm.

II. On place un point M sur le côté [LC] du triangle LAC et on note x la distance LM, exprimée en cm ( 0 < x < 15).

1. Exprimer en fonction de x la longueur MC.
2. Le segment [AH] peut être considéré comme hauteur à la fois du triangle MAC et du triangle LAM.

     a. Montrer que l'aire du triangle LAM, exprimée en cm² , est 3,6 x.
     b. Montrer que l'aire du triangle MAC, exprimée en cm² , est 54 - 3,6x.
     c. Pour quelle valeur de x les deux triangles LAM et MAC ont-ils la même aire ?
         Quelle est alors cette aire ?

III. Le plan est muni d'un repère orthogonal. On choisira l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille de papier millimétré. Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre, sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 10 unités.

1. Tracer la représentation graphique des fonctions f et g définies par :
   f(x) = 3,6 x et g(x) = 54 - 3,6 x.

2. Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle MAC est égale à 36 cm² en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.

3. Soit K le point d'intersection des deux droites obtenues.
     a. Déterminer graphiquement les coordonnées du point K.
     b. En utilisant les résultats obtenus à la question II 2-c :
                   - Que représente l'abscisse du point K ?
                   - Que représente l'ordonnée du point K ?

I -
a ) Aire du triangle LAC = ( LA * AC )
                                  = ( 9 * 12 ) = 54 cm²

b ) Le triangle LAC est rectangle en A. Donc d'après la propriété de Pythagore on a :

LC² = LA² + AC²

LC² = 9² + 12²

      = 81 + 144

      = 225

d'où
LC =
LC = 15 cm

c ) Aire du triangle LAC = ( LC * AH )
donc 54 = * 15 * AH
d'où  AH = = = 7,2 cm

II -

1 -
On a
        LC = LM + MC
d'où
        MC = 15 - x

2 -
a ) Aire du triangle LAM = * ( LM * AH )
                                   = * 7,2 x
b ) Aire du triangle MAC = ( MC * AH )
                                   = ( 15 - x ) * 7,2
                                   = 3,6 ( 15 - x )
                                   = 54 - 3,6 x ( en cm² )

c )
Si aire du triangle MAC = Aire du triangle LAM
alors
        3,6 x = 54 - 3,6 x

d'où
        7,2 x = 54
        x =
        x = 7,5

L'aire est alors de 7,5 * 3,6 = 27 cm².

III -

1 -

2 - On a x = 5

3 -
a ) On a K ( 7,5 ; 27 )

b ) L'abscisse du point K est la valeur de x pour laquelle les deux aires des triangles LAC et MAC sont égales.
Son ordonnée est la valeur de cette aire.