Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle rectangle

1)
a) On a tracé ci-dessous le segment [BC] tel que BC = 15 cm.
      Placer un point A tel que AB = 9 cm et AC = 12 cm.

b) Démontrer que ABC est un triangle rectangle.

2)
   a) Placer le milieu M de [BC]. Tracer le cercle de diamètre [AB].
       Ce cercle recoupe le segment [BC] en D et le segment [AM] en E.

   b) Démontrer que les triangles ABE et ABD sont rectangles.

3)
   a) Construire le point F, symétrique du point E par rapport au point M.
   b) Démontrer que le quadrilatère BECF est un parallélogramme.
   c) En déduire que les droites (BE) et (CF) sont parallèles, et que les droites (AF) et (CF) sont perpendiculaires.

4) Soit H le point d'intersection des droites (AD) et (BE).
    Soit K le point d'intersection des droites (AD) et (CF).

   a) Que représentent les droites (AD) et (BE) pour le triangle (ABM) ?
           En déduire que les droites (HM) et (AB) sont perpendiculaires.
           Démontrer de même que les droites (KM) et (AC) sont perpendiculaires.

   b) On appelle I le point d'intersection des droites (AB) et (MH).
           On appelle J le point d'intersection des droites (AC) et (KM).
           Démontrer que le quadrilatère AIMJ est un rectangle.
           En déduire que le triangle HMK est rectangle.

1 -
a - voir figure ci dessous.

b - On a :
AB ² = 9² = 81
AC² = 12² = 144
BC² = 15² =225

On constate que AB²+AC² = BC² donc d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

2 -
a - voir figure ci dessous.

b - D et E sont sur le cercle de diamètre [AB] donc les triangle ABD et ABE sont inscrits dans un demi-cercle, ce sont des triangles rectangles respectivement en D et en E.

3 -
a - voir figure ci dessous

b -
Les segments [BC] et [EF] ont le même milieu M.
Dans le quadrilatère BECF, les diagonales [BC] et [EF] ont le même milieu donc le quadrilatère BECF est un parallélogramme.

c -
Si BECF est un parallélogramme, alors (BE) // (CF).
On sait que (BE) (AE) [ABE triangle rectangle]
et que (BE) // (CF)
donc (CF) (AE)
et donc (CF) (AF) (A,F,E alignés).

4 -
a - Dans le triangle (ABM), (AD) et (BE) sont des hauteurs.
Leur point d'intersection H est l'orthocentre du triangle (ABM), donc la droite (HM) est la troisième hauteur du triangle (ABM), d'où (AB) (HM).
De la même manière, dans le triangle (AKC), les droites (AF) et (CD) sont des hauteurs, et M leur point d'intersection est l'orthocentre du triangle (AKC), (KM) est la troisième hauteur de ce triangle, on a donc:
(KM) (AC).

b - On a (AB) (AC)
et (KJ) (AC)

donc (AB) // (KJ)
On a (MI) (AB)
et (JA) (AB)

donc (JA) // (MI)
Donc le quadrilatère AIMJ est un parallélogramme.
De plus l'angle est droit, donc AIMJ est un rectangle.

Donc (KJ) (IM)
d'où angle droit
et donc HMK est un triangle rectangle en M.