Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangle rectangle

Construire un triangle MNP tel que :

PN = 13 cm ; PM = 5 cm ; MN = 12 cm.

1) Prouver que ce triangle MNP est rectangle en M.

2) Calculer son périmètre et son aire.

3) Tracer le cercle circonscrit au triangle MNP ; préciser la position de son centre O et la mesure de son rayon.

4) Calculer la tangente de l'angle PNM ; en déduire une mesure approchée de cet angle à 1° près.

A est un point quelconque du côté [PM].
On pose : AM = x (x est donc un nombre compris entre 0 et 5).
La parallèle à (PN) passant par A coupe le segment [MN] en B.

1) En précisant la propriété utilisée, exprimer MB et AB en fonction de x.

2) Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle AMB.

3) Résoudre l'équation :

4) a - Faire une nouvelle figure en plaçant le point A de façon que le périmètre du triangle AMB soit 18 cm.

b - Quelle est alors l'aire du triangle AMB ?

Construction du triangle MNP

PN = 13 cm ; PM = 5 cm ; MN = 12 cm

Voir figure ci-dessous.

1) PN² = 169
PM² + MN² = 25 + 144 = 169
Comme PN² = PM² + MN² alors d'après la réciproque de la propriété de Pythagore on en conclut que le triangle MNP est rectangle en M.

2) Son périmètre est égal à 13 + 5 + 12 soit 30 cm.
Son aire est égale à soit 30 cm².

3) Voir figure.
Le centre O du cercle circonscrit au triangle MNP est le milieu de son hypoténuse PN.

4) tan =
tan =

On en déduit que la mesure de cet angle à 1° près est de 22°.

AM = x

1) En utilisant la propriété de Thalès on obtient:

On a donc d'où
et d'où

2) Le périmètre du triangle AMB est: AM + MB + AB soit

3) 

5x + 12x + 13x = 90

30x = 90

d'où x = 3

4) 
a) Voir figure
b) AM = 3 donc soit
L'aire du triangle AMB est donc égale à

soit 10,8 cm²