Annales gratuites Brevet Série Collège : Triangles rectangulaires

Les figures de ce problème sont à compléter au dos de la feuille annexe à rendre avec la copie.
Dans ce problème, l'unité utilisée est le millimètre.
ABC est un triangle tel que : AB = 42, AC = 56, BC = 70.

Dans tout le problème :
M est un point du segment [BC] distinct de B et C.
La perpendiculaire à la droite (AB) passant par M coupe le segment [AB] en H.
La perpendiculaire à la droite (AC) passant par M coupe le segment [AC] en K.

1) Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A.

2) Compléter la figure (non représentée ici).

3) Démontrer que AHMK est un rectangle.


PARTIE A

Dans cette partie, BM = 14.

1) a) En utilisant le théorème de Thalès et ses conséquences dans les triangles BHM et BAC, calculer BH et HM.

b) En déduire AH.

2) Calculer le périmètre du rectangle AHMK.

PARTIE B

Dans cette partie, on pose BM = x (x en mm).

1) a) Démontrer que : HM = 0,8 x.

b) Exprimer BH en fonction de x. En déduire que : AH = 42 - 0,6 x.

2) a) Exprimer le périmètre du rectangle AHMK en fonction de x.

(On donnera le résultat sous la forme développée et réduite).

b) Calculer la valeur de x pour laquelle HM = AH.

c) Pour la valeur obtenue préciser la nature de AHMK et calculer son périmètre.

PARTIE C :

Dans cette partie, le point M est l'intersection de la bissectrice de l'angle et de la droite (BC).

1) Sur la figure, construire les points M, H et K.

2) Démontrer que AHMK est un carré.

3) Quelle est, dans ce cas, la valeur de BM ?

1) AB ² + AC ² = 42 ² + 56 ² = 4900
BC ² = 70 ² = 4900
D'après la réciproque du Théorème de Pythagore, comme BC ² = AB ² + AC ², alors le triangle ABC est rectangle en A.

2)

3) le quadrilatère AHMK possède 3 angles droits donc AHMK est un rectangle.

PARTIE A

1) a) M appartient à (BC)
H appartient à (BA)
(HM) // (AC)
d'après le Théorème de Thalès on a :

D'où mm

Et mm

b) AH = AB - BH = 42 - 8,4 = 33,6cm

2) Périmètre de AHMK = 2 ´ 33,6 + 2 ´ 11,2 = 2 ´ 44,8 = 89,6 mm


PARTIE B

BM = x

1) a) HM) // (AC)
M appartient à (BC) et
M appartient à (AB)
D'après le Théorème de Thalès :

donc

b)
D'où

AH = AB - BH = 42 - 0,6x

2) a) Périmètre de AHMK = 2 ´ (AH + HM) = 2(42 - 0,6x + 0,8x) = 2(42 + 0,2x) = 84 + 0,4x

b) HM = AH
0,8x = 42 - 0,6x
1,4x = 42

c) Si HM = AH alors le rectangle AHMK est un carré.
Son périmètre est 84 + 12 = 96 mm


PARTIE C

1) Voir figure ci-dessous.

2) Comme (AM) est la bissectrice de
alors
Dans le triangle rectangle AHM de sommet H on a :

et
donc MH = AM
donc AHMK est un carré.

3) D'après la partie B si AHMK est un carré alors BM = 30

2022 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite