Annales gratuites Brevet Série Collège : Trigonométrie

L'unité graphique est le centimètre.

La figure sera réalisée sur papier quadrillé.

I.

1) Tracer un segment [AB] tel que AB = 12 et placer le point H du segment [AB] tel que AH = 1.
    Tracer un demi-cercle de diamètre [AB] et la perpendiculaire en H à la droite (AB). On désigne par C leur point d'intersection.

2) Quelle est la nature du triangle ABC ?

3) Exprimer, de deux façons, le cosinus de l'angle et en déduire que .
    Donner la mesure arrondie au degré de l'angle .

II.

1) a) Placer le point D de la droite (BC) tel que B, C et D soient dans cet ordre et que CD = 6.

    b) Calculer la mesure, en degrés, de l'angle et la valeur exacte de la longueur AD.

2) a) Placer le point E du segment [AD] tel que AE = 2, et le point F du segment [AC] tel que

    b) Démontrer que les droites (EF) et (DC) sont parallèles.

    c) Calculer la longueur AF.

3) La droite (EF) coupe la droite (CH) en K.
    Démontrer que le point K appartient à la bissectrice de l'angle .

I.

1) Voir figure


2) Le triangle ABC est inscrit dans une demi-cercle, il est donc rectangle (en C).

3) Dans le triangle CAH :
                                      
    Dans le triangle ABC :

                                      

    On a donc

c'est à dire AC² = 12 = 2².3
et donc, on a bien AC = 2

De l'égalité :

on tire (arrondi au degré)


II.

1) a)Voir figure précédente.

    b) on a :
               

               donc

Grâce à la propriété de Pythagore, on a :

AD² = AC² + CD²
        = 12 + 36 = 48

et AD = 4

2) a) Voir figure précédente.

    b) les droites (EF) et (DC) fait toutes deux un angle de 30° avec la droite (AD). Elles sont donc parallèles entre elles.

    c) Le triangle AEF est rectangle en F et l'angle en E mesure 30°. On a donc :

             

3) K est équidistant de [AC] et [AH] puisque AF = AH = 1
    Donc K appartient à la bissectrice de l'angle

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