Annales gratuites Brevet Série Collège : Tringle et cercle

EFG est un triangle isocèle en E tel que FG = 5 cm et EG = 6 cm.
Le cercle (C) de centre O et de diamètre [EG] coupe [FG] en K.

La figure ci-dessous n'est pas dessinée en vraie grandeur.

1) Réaliser la figure en vraie grandeur (utiliser une feuille à part).

2)
a) Démontrer que EKG est un triangle rectangle.
b) Démontrer que K est le milieu de [FG].
c) Calculer la valeur exacte de EK. Donner une valeur approchée à 1 mm près.

3) Soit S l'image de E par la translation de vecteur
a) Placer le point S sur la figure.
b) Démontrer que ESGK est un rectangle.

Compléter la figure en plaçant un point P sur un segment [EG] (ne pas placer P en O).
Tracer la parallèle à (FG) passant par P. Elle coupe (EF) en R.
On nomme la longueur du segment [EP] exprimée en cm.

1) Préciser sans justifier la nature du triangle EPR.
2) Démontrer que .
3) Exprimer en fonction de le périmètre du triangle EPR.
4) Démontrer que le périmètre du trapèze RPGF est égal à .
5) Peut-on trouver une position du point P sur [EG] pour laquelle le triangle et le trapèze aient le même périmètre ? Justifier la réponse.

1/ [Ici, bientôt une représentation graphique]

2/
a/ Le triangle EKG est rectangle en K, car il est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [EG]

b/ Comme le triangle EFG est un triangle isocèle en E et que (EK) est perpendiculaire à (FG) donc (EK) est en même temps hauteur et médiatrice relative au segment [FG].
Donc K est le milieu de [FG]

c/ On a

KG =
KG =
KG = 2,5 cm

D'après la propriété de Pythagore appliquée au triangle rectangle EKG.
On a :

EG² = EK ² + KG ²

EK² = EG² - KG ²

EK² = 6² - 2,5²

EK² = 29,75

EK =

Soit EK = 5,4 cm à 1mm près par défaut.

3/ Comme S est l'image de E par la translation de vecteur alors = .
Donc le quadrilatère ESGK est un parallélogramme.
De plus comme l'angle est droit alors ESGK est un rectangle.

1/ Le triangle EPR est isocèle.

2/ Dans le triangle EFG les droites (FG) et (PR) sont parallèles donc d'après la propriété de Thalès on a:

=
=

d'où
PR = x

3/ Périmètre du triangle EPR = 2x +
soit x

4/ Périmètre du quadrilatère RPGF
= 2 ( 6 - x ) + x + 5
= 12 - 2x + + 5
Soit
- + 17

5/ La position du point P sur [EG] dans laquelle le triangle et le trapèze ont le même périmètre est telle que:

= + 17
+ = 17
= 17
4x = 17
x =

Soit EP = 4,25 cm