Annales gratuites Bac S : Arithmétique

(5 points)
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

1.
    a. Déterminer l'ensemble des couples (x, y) de nombres entiers relatifs, solution de          l'équation (E) : 8x — 5y = 3.
    b. Soit m un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple (p, q) de nombres entiers          vérifiant m = 8p + 1 et m = 5q + 4.
         Montrer que le couple (p, q) est solution de l'équation (E) et en déduire que          (modulo 40).
    c. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers m supérieurs à 2 000.

2. Soit n un nombre entier naturel.
    a. Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a :
    b. Quel est le reste dans la division euclidienne 2²⁰⁰⁹ par 7 ?

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec
On considère le nombre N = a × 10³ + b. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme 
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
    a. Vérifier que (modulo 7).
    b. En déduire tous les nombres entiers N cherchés.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Exercice d'arithmétique comportant 3 parties indépendantes où le nombre 2009 se retrouve.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Équation Diophantienne
● Congruence

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Pas de difficultés majeures. Seule la dernière partie demande de la réflexion.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Résoudre une équation diophantienne.
● Utiliser la congruence pour retrouver des divisibilités.

V - LES RESULTATS

1. a. Solution de E :

    b. (p,q) solution de (E).
        
    c. m = 2009

2.
     b. Le reste de la division euclidienne de 2²⁰⁰⁹ par 7 est 4.

3. a.
    b. L'ensemble des nombres N est :
        1001, 1008, 2002, 2009, 3003, 4004, 5005, 6006, 7000, 7007, 8001, 8008, 9002 et         9009.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. a. Pour résoudre l'équation 8x — 5y = 3 (E).
        Il faut d'abord trouver une solution particulière.
        Ici la solution (1,1) est évidente.

       D'où 8(x — 1) = 5(y — 1) ⁽*⁾
       Par conséquent 8 divise 5(y — 1)
       Or 8 et 5 sont premiers entre eux.
       D'après le théorème de Gauss, 8 divise y — 1.
       Par conséquent il existe.

       En remplaçant dans la relation (*) y — 1 par 8k,
       on obtient x — 1 = 5k.
       Par conséquent toute solution de (E) s'écrit

       Inversement tout couple (x, y) s'écrivant

       vérifie 8x - 5y = 8(5k + 1) — 5(8k + 1)
                             = 40k + 8 — 40k — 5
                             = 3
       donc vérifie (E).

       En conclusion les solutions de (E) sont les couples (x,y) vérifiant

    b. m = 8p + 1 et m = 5q + 4
        Par conséquent 8p + 1 = 5q + 4
        8p — 5q = 3
        Le couple (p,q) est solution de (E).
        (p,q) solution de E donc il existe tel que p = 5k + 1

        m = 8p + 1 = 8(5k+1) +1 = 40k + 9
        D'où

    c. Le plus petit nombre supérieur à 2000 est 2009.
        2009 = 8 × 251 + 1 et 2009 = 5 × 401 + 4

2. a.
       Donc
       
       

    b. 2009 = 3 × 669 + 2
        donc 2²⁰⁰⁹ = 2^{3 × 669 + 2} = 2^3 × 669×2²
        Or
        Donc
        D'où
        Le reste de la division euclidienne de 2²⁰⁰⁹ par 7 est 4.

3. a. 10³ = 1000 = 7×143 — 1
       Par conséquent

    b. N = a × 10³ + b
       Donc
       Pour que N soit divisible par 7, il faut et il suffit que b — a soit divisible par 7.
       b — a divisible par 7, c'est-à-dire b — a = 0 ou b — a = 7 ou b — a = —7
       Soit b = a ce qui donne les nombres 1001, 2002, 3003, 4004, 5005, 6006, 7007, 8008,        9009.

Soit b — a = 7          

Soit b — a = — 7 

D'où tous les nombres N cherchés sont les 14 nombres suivant :
1001, 1008, 2002, 2009, 3003, 4004, 5005, 6006, 7000, 7007, 8001, 8008, 9002, 9009.