Annales gratuites Bac STG Comm. gestion RH : Chiffre d'affaires

(8 points)

Dans une petite entreprise, la fabrique journalière de x objets impose un coût de fabrication par objet en euros, noté f(x).
Cet objet étant vendu 12€, le chiffre d'affaires en euros, réalisé par l'entreprise par la vente de x objets, est donc un nombre réel g(x) = 12x.
On définit ainsi deux fonctions f et g.

Partie A :

En annexe, on a tracé la courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ; le nombre d'objets est placé en abscisse et le coût de fabrication en euros est porté en ordonnée.

1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
a) Quel est le coût de fabrication pour une production journalière de 15 objets ?
Quelle autre quantité d'objets fabriqués donne le même coût de fabrication ?
b) Quelle production journalière correspond à un coût de fabrication de 525€ ?
c) Pour quelle quantité d'objets fabriqués le coût de fabrication n'excède-t-il pas 305€ ?

2. Dans le repère précédent, tracer la droite d'équation y = 12x et déterminer graphiquement combien l'entreprise doit fabriquer d'objets pour être bénéficiaire.

Partie B :

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est définie pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ; 50] par f(x) = x² — 40x + 480.
1. Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ; 50], g(x) — f(x) = —x² + 52x — 480.

2. On désigne par B la fonction définie sur [0 ; 50] par B(x) = —x² + 52x — 480.
a) Déterminer la fonction dérivée B ' de B sur [0 ; 50].
b) Étudier son signe et en déduire le tableau de variation de B sur [0 ; 50].

3) En déduire le bénéfice maximal que l'entreprise peut réaliser, en précisant la production journalière correspondante.
Comment peut-on retrouver ce résultat graphiquement ?

Annexe

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Etude d'un coût et d'un bénéfice basée principalement sur une lecture graphique.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Lecture graphique d'un coût et d'un bénéfice ;
● Fonction du second degré ;
● Dérivée et sens de variation.

III - LES RESULTATS

Partie A

1.
a) Coût de 105€
Quantité : 25 objets.
b) Production de 40 objets.
c) Production comprise entre 5 et 35 objets.

2. Fabriquer entre 12 et 40 objets.

Partie B

1. g(x) — f(x) = —x² + 52x — 480

2.
a) B '(x) = —2x + 52
b) B '(x) ³ 0 si et seulement si x £ 26
B '(x) £ 0 si et seulement si x ³ 26

3.
● Le bénéfice maximal est de 196€ pour une production de 26 objets.
● L'écart maximal entre la courbe et la droite.

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A

1.
a) Le coût de fabrication pour une production de 15 objets est de 105€. On obtient le même coût pour une production de 25 objets.
b) Une production de 40 objets correspond à un coût de 523€.
c) Le coût de fabrication n'excède pas 305€ pour une quantité comprise entre 5 et 35 objets.

2. Pour être bénéficiaire, l'entreprise doit fabriquer entre 12 et 40 objets.

Partie B

f(x) = x² — 40x + 480

1. g(x) — f(x) = 12x — (x² — 40x + 480) d'où g(x) — f(x) = —x² + 52x — 480 

2. B(x) = —x² + 52x — 480
a) B '(x) = —2x + 52
b) B '(x) ³ 0 si et seulement si —2x + 52 ³ 0
B '(x) ³ 0 si et seulement si —2x ³ —52
B '(x) ³ 0 si et seulement si x £ 26
et B '(x) £ 0  Û x ³ 26.
Il en résulte le tableau de variation suivant :

3. Le bénéfice maximal que l'entreprise peut réaliser est de 196€ pour une production de 26 objets.
Pour obtenir ce résultat graphiquement, il suffit de déterminer l'écart maximal entre la courbe et la droite.